أسئلة نهايات دوال القيمة المطلقة

أمثلة، تفسيرات بيانية، وحلول تفصيلية

كيفية إيجاد نهايات دوال القيمة المطلقة؛ يتم عرض العديد من الأمثلة والحلول التفصيلية جنباً إلى جنب مع التفسيرات البيانية. يتم عرض مجموعة من التمارين مع الإجابات في أسفل الصفحة.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

أسئلة مع حلول تفصيلية

انقر على كل سؤال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

السؤال 1

أوجد النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} \)

عرض الحل

خطوات إيجاد النهاية هي:

\[ \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{-1}{|-1|} = \dfrac{-1}{1} = -1 \]

السؤال 2

احسب النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} \)

عرض الحل

خطوات إيجاد النهاية هي:

\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{1}{|1|} = 1 \]

السؤال 3

أوجد النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \)

عرض الحل
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{0}{|0|} \quad \text{صيغة غير تعيينية} \]

تذكر أن:

\( |x| = x \) عندما \( x \ge 0 \) و \( |x| = -x \) عندما \( x < 0 \)

دعنا نحسب النهاية من يسار \( x = 0 \) حيث \( x < 0 \) وبالتالي \( |x| = -x \):

\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1 \]

دعنا نحسب النهاية من يمين \( x = 0 \) حيث \( x > 0 \) وبالتالي \( |x| = x \):

\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 \]

النهايتان من اليسار ومن اليمين لـ \( x = 0 \) غير متساويتين، لذلك:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \quad \text{غير موجودة} \]

يُعرض أدناه رسم بياني للدالة \( f(x) = \dfrac{x}{|x|} \)، مما يوضح أن النهايات من اليسار واليمين للصفر غير متساويتين.

graph of y = x / |x|
الشكل 1. رسم بياني للدالة \( f(x) = \dfrac{x}{|x|} \).

السؤال 4

احسب النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} \)

عرض الحل

بما أن \( x \) تزداد بلا حدود، فإن \( x > 0 \) وبالتالي \( |x| = x \). ومن ثم:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]

السؤال 5

أوجد النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} \)

عرض الحل

بما أن \( x \) تتناقص بلا حدود، فإن \( x < 0 \) وبالتالي \( |x| = -x \). ومن ثم:

\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 \]

السؤال 6

هل النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \) موجودة؟

عرض الحل
\[ \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \dfrac{|-2 + 2|}{-2 + 2} = \dfrac{0}{0} \quad \text{صيغة غير تعيينية} \]

دعنا نحسب النهاية من يسار \( -2 \) (حيث \( x \le -2 \)) ومن يمين \( -2 \) (حيث \( x \ge -2 \)) بشكل منفصل.

تذكر أن:

إذا كان \( x + 2 \ge 0 \) أو \( x \ge -2 \)، فإن \( |x + 2| = x + 2 \).

إذا كان \( x + 2 \le 0 \) أو \( x \le -2 \)، فإن \( |x + 2| = -(x + 2) \).

دعنا نحسب النهاية من يسار \( x = -2 \):

\[ \lim_{x \to -2^-} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{-(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (-1) = -1 \]

دعنا نحسب النهاية من يمين \( x = -2 \):

\[ \lim_{x \to -2^+} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \dfrac{x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} 1 = 1 \]

النهايتان من اليسار ومن اليمين لـ \( x = -2 \) غير متساويتين، لذلك:

\[ \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \quad \text{غير موجودة} \]

السؤال 7

أوجد النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \)

عرض الحل
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \dfrac{(1)^2 + 2(1) - 3}{|(1) - 1|} = \dfrac{0}{0} \quad \text{صيغة غير تعيينية} \]

عند \( x = 1 \)، كل من البسط والمقام يساوي صفراً، لذا فهما يشتركان في عامل مشترك وهو \( x - 1 \). تحليل البسط:

\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{|x - 1|} \]

تذكر أن \( |x - 1| = x - 1 \) عندما \( x \ge 1 \) و \( |x - 1| = -(x - 1) \) عندما \( x \le 1 \).

النهاية من يسار \( x = 1 \):

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]

النهاية من يمين \( x = 1 \):

\[ \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4 \]

النهايتان من اليسار ومن اليمين غير متساويتين، لذلك:

\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \quad \text{غير موجودة} \]

يُعرض أدناه رسم بياني للدالة \( f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \)، مما يوضح بوضوح أن نهايتي اليسار واليمين عند 1 غير متساويتين.

graph of f(x) = (x^2 + 2 x - 3)/|x - 1|
الشكل 2. رسم بياني للدالة \( f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \).

السؤال 8

احسب النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)

عرض الحل

بما أن \( x \) تزداد بلا حدود، فإن \( x + 2 \) تزداد أيضاً بلا حدود وبالتالي \( x + 2 \ge 0 \)، ومن ثم:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{x + 2} = +\infty \]

السؤال 9

أوجد النهاية: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)

عرض الحل

بما أن \( x \) تتناقص بلا حدود، فإن \( x + 2 \) تتناقص أيضاً بلا حدود وبالتالي \( x + 2 \le 0 \), ومن ثم:

\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{-(x + 2)} = +\infty \]

يُعرض أدناه رسم بياني للدالة \( f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)، مما يوضح أن \( y = f(x) \) تزداد بلا حدود كلما زادت \( x \) أو تناقصت بلا حدود.

graph of f(x)
الشكل 3. رسم بياني للدالة \( f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \).

التمارين

احسب النهايات التالية. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{|x|} \)

عرض الإجابة
\[ 0 \]

التمرين 2

\( \displaystyle \lim_{x \to -6^-} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)

عرض الإجابة
\[ 1 \]

التمرين 3

\( \displaystyle \lim_{x \to -6^+} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)

عرض الإجابة
\[ -1 \]

التمرين 4

\( \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} \)

عرض الإجابة
\[ \text{غير موجودة} \]

المزيد من المراجع والروابط