إيجاد النهايات باستخدام المتسلسلات

أتقن حساب النهايات باستخدام متسلسلات تايلور مع حلول تفصيلية

أتقن حساب النهايات باستخدام متسلسلات تايلور مع أمثلة خطوة بخطوة وحلول تفصيلية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

أسئلة مع حلول تفصيلية

انقر فوق كل سؤال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

السؤال 1

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} \)

إظهار الحل

لإيجاد النهاية \( \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} \)، نستخدم متسلسلات تايلور.

انشر وسيط دالة جيب التمام:

\[ \dfrac{x}{1 - x^2} = x \left(1 + x^2 + x^4 + \cdots \right) = x + x^3 + x^5 + \cdots \]

بالنسبة لـ \( x \) الصغيرة، نقرب هذا كـ \( \theta = x + x^3 \).

انشر \( \cos(\theta) \) باستخدام متسلسلة تايلور:

\[ \cos(\theta) = \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

احسب \( \theta^2 \) و \( \theta^4 \) حتى حدود \( x^4 \):

\[ \theta^2 = (x + x^3)^2 = x^2 + 2x^4 + \cdots \]
\[ \theta^4 = (x + x^3)^4 = x^4 + \cdots \]

عوض بهذه في نشر جيب التمام:

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2 + 2x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - x^4 + \dfrac{x^4}{24} \]

بسّط الحدود:

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24} \]

عوض بهذا مرة أخرى في بسط التعبير الأصلي:

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right) \approx 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}\right) \]

بسّط:

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{23x^4}{24} = \dfrac{23x^4}{24} \]

اقسم البسط المبسط على المقام \( x^4 \) وبسّط:

\[ \dfrac{\dfrac{23x^4}{24}}{x^4} = \dfrac{23}{24} \]

إذن، النهاية هي:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} = \dfrac{23}{24} } \]

السؤال 2

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2}\right) \)

إظهار الحل

لإيجاد النهاية \( \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \right) \)، نبدأ باستخدام المتطابقات المثلثية ومتسلسلات تايلور.

أعد كتابة التعبير باستخدام المتطابقات المثلثية:

\[ \dfrac{1}{\tan^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \]

وبالتالي، يصبح التعبير:

\[ \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \]

انشر \( \cos x \) و \( \sin x \) باستخدام متسلسلات تايلور:

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \]
\[ \sin x \approx x - \dfrac{x^3}{6} \]

تربيع النشور أعلاه:

\[ \cos^2 x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right)^2 \approx 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \]
\[ \sin^2 x \approx \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 \approx x^2 - \dfrac{x^4}{3} \]

عوض بهذه النشور في التعبير:

\[ 1 + \cos^2 x \approx 2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \]
\[ \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} \approx \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 - \dfrac{x^4}{3}} = \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \]

التبسيط:

\[ \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \approx \left( \dfrac{2}{x^2} - 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \]

النشر والتبسيط:

\[ \approx \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

اطرح \( \dfrac{2}{x^2} \):

\[ \left( \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) - \dfrac{2}{x^2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

خذ النهاية عندما \( x \to 0 \):

\[ \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) = -\dfrac{1}{3} \]

إذن، النهاية هي:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{3} } \]

السؤال 3

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \)

إظهار الحل

لإيجاد النهاية \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \)، نستخدم متسلسلات تايلور.

انشر البسط باستخدام متسلسلة تايلور:

\[ \pi \sin x \approx \pi\left(x - \dfrac{x^3}{6}\right), \quad \sin(\pi x) \approx \pi x - \dfrac{(\pi x)^3}{6} \]

طرح هذين التعبيرين:

\[ \pi \sin x - \sin(\pi x) \approx \dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6} \]

انشر التعبيرات بين الأقواس في المقام باستخدام متسلسلة تايلور:

\[ \cos x - \cos(\pi x) \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{(\pi x)^2}{2}\right) = \dfrac{(\pi^2 - 1)x^2}{2} \]

اضرب في \( x \) للحصول على المقام بأكمله:

\[ x(\cos x - \cos(\pi x)) \approx \dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2} \]

كوّن نسبة النهاية:

\[ \dfrac{\dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}}{\dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}} = \dfrac{\pi}{3} \]

إذن، النهاية هي:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} = \dfrac{\pi}{3} } \]

ملاحظة: يمكن أيضاً حل هذه النهاية باستخدام قاعدة لوبيتال عن طريق الاشتقاق ثلاث مرات للبسط والمقام.

السؤال 4

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \)

إظهار الحل

سنوجد النهاية \( \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \) باستخدام متسلسلات تايلور.

يُعطى النشر الثنائي للقوة الكسرية كما يلي:

\[ (1 + \epsilon)^n = 1 + n\epsilon + \dfrac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 + \cdots \]

انشر \( \sqrt{x^2 + 1} \) باستخدام نظرية ذات الحدين:

\[ \sqrt{x^2 + 1} = (1 + x^2)^{1/2} = 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \cdots \]

اطرح \( x \) وخذ اللوغاريتم الطبيعي:

\[ \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \]

انشر اللوغاريتم باستخدام متسلسلة تايلور:

\[ \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \approx -x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots \]

اجمع مع حد \( x \) في البسط:

\[ x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \approx x + \left(-x + \dfrac{x^3}{6}\right) = \dfrac{x^3}{6} \]

اقسم البسط المبسط على المقام \( x^3 \):

\[ \dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6} \]

إذن، النهاية هي:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} = \dfrac{1}{6} } \]

ملاحظة: يمكن أيضاً حل هذه النهاية باستخدام قاعدة لوبيتال عن طريق الاشتقاق ثلاث مرات للبسط والمقام.

السؤال 5

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \)

إظهار الحل

لإيجاد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \)، نتابع كالتالي:

ليكن \( L \) النهاية المراد إيجادها:

\[ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين لتبسيط الأس:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

بسّط الطرف الأيمن:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right) \]

انشر \( \sin x \) باستخدام متسلسلة تايلور حول \( x = 0 \):

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots \implies \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \cdots \]

قرب اللوغاريتم باستخدام \( \ln(1 + y) \approx y - \dfrac{y^2}{2} + \cdots \) لـ \( y \) الصغيرة:

\[ \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots \]

عوض بالتقريب في النهاية:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{6} - \dfrac{x^2}{180} - \cdots \right) = -\dfrac{1}{6} \]

خذ الأس للناتج لحل قيمة \( L \):

\[ L = e^{-\dfrac{1}{6}} \]

وأخيراً:

\[ \boxed{ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} = e^{-\dfrac{1}{6}} } \]

السؤال 6

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \)

إظهار الحل

لإيجاد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \)، نستخدم متسلسلات تايلور لكل من \( \sin x \) و \( \cos x \).

متسلسلات تايلور:

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots \]
\[ \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots \]

انشر \( \cos(\sin x) \):

عوض بـ \( \sin x \) في متسلسلة تايلور لـ \( \cos(\theta) \) حيث \( \theta = \sin x \):

\[ \cos(\sin x) = \cos\left(x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\right) \]

انشر \( \cos(\theta) \) باستخدام \( \theta = x - \dfrac{x^3}{6} \):

\[ \cos(\theta) = 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

احسب \( \theta^2 \) و \( \theta^4 \) حتى حدود \( x^4 \):

\[ \theta^2 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots \]
\[ \theta^4 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^4 = x^4 + \cdots \]

عوض بهذه في نشر \( \cos(\theta) \):

\[ \cos(\sin x) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \cdots \]

اطرح \( \cos x \) من \( \cos(\sin x) \):

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots \]

اطرح النشور:

\[ \cos(\sin x) - \cos x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) = \dfrac{4x^4}{24} = \dfrac{x^4}{6} \]

اقسم على \( x^4 \) وخذ النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{6}}{x^4} = \dfrac{1}{6} \]

إذن، النهاية هي:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} = \dfrac{1}{6} } \]

مزيد من المراجع والروابط