خصائص نهايات الدوال في التفاضل والتكامل

النظريات، التطبيقات، والحلول التفصيلية خطوة بخطوة

خصائص نهايات الدوال، في شكل نظريات، يتم تقديمها جنباً إلى جنب مع بعض أمثلة التطبيقات والحلول التفصيلية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

نظريات وخصائص النهايات

النظرية: إذا كانت \( f \) و \( g \) دالتين وكانت كل من \( \lim_{x \to a} f(x) \) و \( \lim_{x \to a} g(x) \) موجودتين، فإن:

الخاصية 1: نهاية مجموع دالتين هي مجموع نهايتيهما.

\[ \lim_{x \to a} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \]

الخاصية 2: نهاية الفرق بين دالتين هي الفرق بين نهايتيهما.

\[ \lim_{x \to a} [ f(x) - g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \]

الخاصية 3: نهاية حاصل ضرب دالتين هي حاصل ضرب نهايتيهما.

\[ \lim_{x \to a} [ f(x) \times g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) \]

الخاصية 4: نهاية حاصل قسمة دالتين هي حاصل قسمة نهايتيهما بشرط ألا تكون نهاية المقام مساوية لـ 0.

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{شريطة أن} \quad \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \]

الخاصية 5: نهاية الجذر النوني للدالة هي الجذر النوني لنهاية الدالة، إذا كان الجذر النوني للنهاية عدداً حقيقياً.

\[ \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \]

إذا كان \( n \) زوجياً، يجب أن تكون \( \lim_{x \to a} f(x) \) موجبة.

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

احسب \( \lim_{x \to -2} h(x) \) حيث تُعطى \( h(x) \) كالتالي:

\[ h(x) = x + 5 \]
عرض حل المثال 1

يمكننا اعتبار \( h(x) \) كمجموع الدالتين \( f(x) = x \) و \( g(x) = 5 \) وتطبيق النظرية 1 أعلاه:

\[ \lim_{x \to -2} h(x) = \lim_{x \to -2} x + \lim_{x \to -2} 5 \]

\( x \) و \( 5 \) هما دالتان أساسيتان ونهاياتهما معلومة:

\[ \lim_{x \to -2} x = -2 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to -2} 5 = 5 \]

ومن ثم:

\[ \lim_{x \to -2} h(x) = -2 + 5 = 3 \]

المثال 2

احسب \( \lim_{x \to 10} h(x) \) حيث تُعطى \( h(x) \) كالتالي:

\[ h(x) = x - 7 \]
عرض حل المثال 2

يمكننا اعتبار \( h(x) \) كفرق بين الدالتين \( f(x) = x \) و \( g(x) = 7 \) وتطبيق النظرية 2 أعلاه:

\[ \lim_{x \to 10} h(x) = \lim_{x \to 10} x - \lim_{x \to 10} 7 \]

\( x \) و \( 7 \) هما دالتان أساسيتان لهما نهايات معلومة:

\[ \lim_{x \to 10} x = 10 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to 10} 7 = 7 \]

ومن ثم:

\[ \lim_{x \to 10} h(x) = 10 - 7 = 3 \]

المثال 3

احسب \( \lim_{x \to -5} m(x) \) حيث تُعطى \( m(x) \) كالتالي:

\[ m(x) = 3x \]
عرض حل المثال 3

لتكن \( m(x) = f(x) \times g(x) \)، حيث \( f(x) = 3 \) و \( g(x) = x \)، ونطبق النظرية 3 أعلاه:

\[ \lim_{x \to -5} m(x) = \lim_{x \to -5} 3 \times \lim_{x \to -5} x \]

العدد 3 هو دالة ثابتة و \( x \) دالة أساسية لهما نهايات معلومة:

\[ \lim_{x \to -5} 3 = 3 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to -5} x = -5 \]

ومن ثم:

\[ \lim_{x \to -5} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]

المثال 4

احسب \( \lim_{x \to 3} r(x) \) حيث تُعطى \( r(x) \) كالتالي:

\[ r(x) = \dfrac{3 - x}{x} \]
عرض حل المثال 4

لتكن \( r(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \)، حيث \( f(x) = 3 - x \) و \( g(x) = x \)، ونطبق النظرية 4 أعلاه:

\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{\lim_{x \to 3} (3 - x)}{\lim_{x \to 3} x} \]

\( 3 - x \) هو فرق بين دالتين أساسيتان و \( x \) دالة أساسية:

\[ \lim_{x \to 3} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to 3} x = 3 \]

ومن ثم:

\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{0}{3} = 0 \]

المثال 5

احسب \( \lim_{x \to 5} m(x) \) حيث تُعطى \( m(x) \) كالتالي:

\[ m(x) = \sqrt{2x - 1} \]
عرض حل المثال 5

لتكن \( f(x) = 2x - 1 \) ونوجد نهايتها بتطبيق نظريتي الفرق والضرب أعلاه:

\[ \lim_{x \to 5} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]

نطبق الآن النظرية 5 بما أن الجذر التربيعي للعدد 9 هو عدد حقيقي:

\[ \lim_{x \to 5} m(x) = \sqrt{9} = 3 \]

المزيد من الروابط حول النهايات