النقاط الحرجة لدوال في متغيرين

الأمثلة، الحلول التفصيلية، التفسيرات البيانية، والتمارين التدريبية

النقطة الحرجة لدالة متعددة المتغيرات هي نقطة تكون فيها المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى لهذه الدالة مساوية للصفر. يتم عرض أمثلة مع حلول تفصيلية حول كيفية إيجاد النقاط الحرجة لدالة ذات متغيرين.

استكشف المزيد من مسائل التحسين لدوال في متغيرين على هذا الموقع.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد النقطة (أو النقاط) الحرجة للدالة \( f \) المعرفة كما يلي:

\[ f(x, y) = x^2 + y^2 \]
عرض حل المثال 1

نوجد أولاً المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى:

\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = 2y \]

نحل الآن المعادلتين \( f_x(x, y) = 0 \) و \( f_y(x, y) = 0 \) آنياً (معاً):

\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ 2y = 0 \implies y = 0 \]

حل نظام المعادلات السابق هو الزوج المرتب \( (0, 0) \).

يُظهر الرسم البياني أدناه للدالة \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) أنه عند النقطة الحرجة \( (0, 0) \)، تمتلك الدالة \( f \) قيمة صغرى (minimum).

critical point example 1, minimum point
الشكل 1. النقطة الحرجة عند (0,0) تمثل قيمة صغرى.

المثال 2

أوجد النقطة (أو النقاط) الحرجة للدالة \( f \) المعرفة كما يلي:

\[ f(x, y) = x^2 - y^2 \]
عرض حل المثال 2

نوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى للدالة \( f \):

\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]

نحل المعادلتين \( f_x(x, y) = 0 \) و \( f_y(x, y) = 0 \) آنياً:

\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]

الحل هو الزوج المرتب \( (0, 0) \).

يظهر الرسم البياني للدالة \( f(x, y) = x^2 - y^2 \) أدناه. ينحني السطح لأسفل في اتجاه \( y \) ولأعلى في اتجاه \( x \). الدالة \( f \) ثابتة (أو ساكنة) عند \( (0, 0) \)، ولكن لا توجد قيمة متطرفة (عظمى أو صغرى). تُسمى النقطة \( (0, 0) \) نقطة سرجية (saddle point) لأن السطح القريب من \( (0, 0) \) يشبه سرج ركوب الخيل.

critical point example 2, saddle point
الشكل 2. النقطة الحرجة عند (0,0) تمثل نقطة سرجية.

المثال 3

أوجد النقطة (أو النقاط) الحرجة للدالة \( f \) المعرفة كما يلي:

\[ f(x, y) = -x^2 - y^2 \]
Show Solution to Example 3

نوجد أولاً المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى:

\[ f_x(x, y) = -2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]

نحل الآن \( f_x(x, y) = 0 \) و \( f_y(x, y) = 0 \) آنياً:

\[ -2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]

الحل هو الزوج المرتب \( (0, 0) \).

يظهر الرسم البياني للدالة \( f(x, y) = -x^2 - y^2 \) أدناه، مبيناً قيمة عظمى نسبية.

critical point example 3, maximum point
الشكل 3. النقطة الحرجة عند (0,0) تمثل قيمة عظمى.

المثال 4

أوجد النقطة (أو النقاط) الحرجة للدالة \( f \) المعرفة كما يلي:

\[ f(x, y) = x^3 + 3x^2 - 9x + y^3 - 12y \]
Show Solution to Example 4

المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى هي:

\[ f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 \] \[ f_y(x, y) = 3y^2 - 12 \]

نحل الآن المعادلتين \( f_x(x, y) = 0 \) و \( f_y(x, y) = 0 \) آنياً:

\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \implies 3(x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ أو } x = 1 \] \[ 3y^2 - 12 = 0 \implies 3(y^2 - 4) = 0 \implies y = -2 \text{ أو } y = 2 \]

بدمج جميع الاحتمالات الممكنة لـ \( x \) و \( y \)، تكون النقاط الحرجة هي:

\[ (1, 2), \; (1, -2), \; (-3, 2), \; (-3, -2) \]

التمارين

أوجد النقاط الحرجة (إن وجدت) للدوال أدناه. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3 \)

عرض الإجابة
\[ (0, 0), \; (1, 1) \]

التمرين 2

\( f(x, y) = e^{-x^2 - y^2 + 2x - 2y - 2} \)

عرض الإجابة
\[ (1, -1) \]

التمرين 3

\( f(x, y) = \dfrac{1}{2}x^2 + y^3 - 3xy - 4x + 2 \)

عرض الإجابة
\[ (16, 4), \; (1, -1) \]

التمرين 4

\( f(x, y) = x^3 + y^3 + 2x + 6y \)

عرض الإجابة
\[ \text{لا توجد نقاط حرجة حقيقية.} \]

المزيد حول المشتقات الجزئية والدوال متعددة المتغيرات