مسائل التحسين لدوال في متغيرين

حلول تفصيلية خطوة بخطوة، تطبيقات هندسية، واختبارات المشتقات الجزئية

تم حل العديد من مسائل التحسين وتقديم حلول تفصيلية لها. تتضمن هذه المسائل تحسين دوال في متغيرين باستخدام المشتقات الجزئية من الرتبتين الأولى والثانية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

مسائل مع حلول تفصيلية

انقر على كل مشكلة لعرض حلها التفصيلي خطوة بخطوة.

المسألة 1

قررت بناء صندوق على شكل موشور مستطيل (متوازي مستطيلات) بحجم 1000 سنتيمتر مكعب. أوجد أبعاد الصندوق \( x \) و \( y \) و \( z \) بحيث تكون المساحة الكلية لسطح الأوجه الستة في أدنى حد لها (أقل ما يمكن).

عرض حل المسألة 1

تُعطى مساحة السطح الكلية \( A \) للأوجه الستة لمتوازي المستطيلات بالصيغة:

\[ A = 2xy + 2yz + 2zx \]
optimization problem 1, minimize area
الشكل 1. أبعاد متوازي المستطيلات

حجم الصندوق مُعطى بـ 1000:

\[ xyz = 1000 \implies z = \frac{1000}{xy} \]

عوض بـ \( z \) في صيغة مساحة السطح للتعبير عن \( A \) كدالة في متغيرين \( x \) و \( y \):

\[ A(x,y) = 2xy + 2y\left(\frac{1000}{xy}\right) + 2x\left(\frac{1000}{xy}\right) = 2xy + \frac{2000}{x} + \frac{2000}{y} \]

لإيجاد النقاط الحرجة، احسب المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى واجعلها مساوية للصفر:

\[ A_x(x,y) = 2y - \frac{2000}{x^2} = 0 \] \[ A_y(x,y) = 2x - \frac{2000}{y^2} = 0 \]

حل هذا النظام ينتج عنه الحل الفيزيائي الموجب:

\[ x = 10, \quad y = 10 \]

بعد ذلك، أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية:

\[ A_{xx}(x,y) = \frac{4000}{x^3}, \quad A_{yy}(x,y) = \frac{4000}{y^3}, \quad A_{xy}(x,y) = 2 \]

احسب \( D = A_{xx}A_{yy} - A_{xy}^2 \) عند النقطة \( (10, 10) \):

\[ D = \left(\frac{4000}{1000}\right)\left(\frac{4000}{1000}\right) - (2)^2 = (4)(4) - 4 = 12 \]

بما أن \( D = 12 > 0 \) و \( A_{xx}(10,10) = 4 > 0 \)، فإن المساحة \( A \) تكون في أدنى حد لها عندما:

\[ x = 10 \, \text{cm}, \quad y = 10 \, \text{cm}, \quad z = \frac{1000}{(10)(10)} = 10 \, \text{cm} \]

المسألة 2

أوجد أبعاد صندوق ذو ستة أوجه على شكل متوازي مستطيلات بأكبر حجم ممكن والذي يمكن صنعه باستخدام 12 متراً مربعاً من الورق المقوى.

عرض حل المسألة 2

باستخدام كل الورق المقوى المتاح، تثبت مساحة السطح الكلية \( A \) عند 12:

\[ A = 2xy + 2yz + 2zx = 12 \]
optimization problem 2, maximize area
الشكل 2. متوازي المستطيلات

الحجم \( V \) المراد تعظيمه هو:

\[ V = xyz \]

حل معادلة مساحة السطح من أجل \( z \):

\[ z = \frac{6 - xy}{x + y} \]

عوض بـ \( z \) في صيغة الحجم:

\[ V(x,y) = \frac{xy(6 - xy)}{x + y} = \frac{6xy - x^2y^2}{x + y} \]

أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى:

\[ V_x(x,y) = -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \] \[ V_y(x,y) = -x^2 \frac{y^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \]

جعل \( V_x = 0 \) و \( V_y = 0 \) ينتج عنه معادلات النقاط الحرجة الداخلية:

\[ x^2 + 2xy - 6 = 0, \quad y^2 + 2xy - 6 = 0 \]

طرح المعادلتين يعطي \( x^2 - y^2 = 0 \implies x = y \) (بما أن الأبعاد يجب أن تكون موجبة). بالتعويض بـ \( x = y \) في \( x^2 + 2x^2 - 6 = 0 \):

\[ 3x^2 = 6 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}, \; y = \sqrt{2} \]

وبالتالي، النقطة الحرجة هي \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \).

حساب المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية:

باستخدام قاعدة القسمة على \( V_x \) و \( V_y \)، نجد المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية:

\[ V_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2y^2 \frac{y^2 + 6}{(x + y)^3} \] \[ V_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left[ -x^2 \frac{y^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2x^2 \frac{x^2 + 6}{(x + y)^3} \] \[ V_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2xy \frac{x^2 + 3xy + y^2 - 6}{(x + y)^3} \]

التقييم عند النقطة الحرجة \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \):

  • \( V_{xx}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -2(\sqrt{2})^2 \frac{(\sqrt{2})^2 + 6}{(\sqrt{2} + \sqrt{2})^3} = -2(2)\frac{2 + 6}{(2\sqrt{2})^3} = -4\frac{8}{16\sqrt{2}} = -\frac{32}{16\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \)
  • بالتماثل، \( V_{yy}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -\sqrt{2} \)
  • \( V_{xy}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -2(\sqrt{2})(\sqrt{2}) \frac{(\sqrt{2})^2 + 3(\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 - 6}{(2\sqrt{2})^3} = -4\frac{2 + 6 + 2 - 6}{16\sqrt{2}} = -4\frac{4}{16\sqrt{2}} = -\frac{16}{16\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

تطبيق اختبار المشتقة الثانية:

احسب المميز \( D = V_{xx}V_{yy} - V_{xy}^2 \) عند النقطة \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \):

\[ D = \left(-\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 - \frac{2}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]

بما أن \( D = \dfrac{3}{2} > 0 \) و \( V_{xx}(\sqrt{2},\sqrt{2}) = -\sqrt{2} < 0 \)، فإن الحجم يكون في أقصى حد له عندما:

\[ x = \sqrt{2} \, \text{meters}, \quad y = \sqrt{2} \, \text{meters}, \quad z = \frac{6 - (\sqrt{2})(\sqrt{2})}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, \text{meters} \]

المسألة 3

أوجد المسافة من النقطة \( (1, 2, -1) \) إلى المستوى المعطى بالمعادلة \( x - y + z = 3 \).

عرض حل المسألة 3

لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى، يمكننا تصغير مربع المسافة بين النقطة \( (1, 2, -1) \) ونقطة عشوائية \( (x, y, z) \) على المستوى:

\[ f(x,y,z) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 \]

حل معادلة المستوى \( x - y + z = 3 \) من أجل \( z \):

\[ z = 3 - x + y \]

عوض بـ \( z \) في \( f \) للتعبير عنها كدالة في \( x \) و \( y \):

\[ F(x,y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (-x + y + 4)^2 \]

أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى:

\[ F_x(x,y) = 2(x - 1) + 2(-1)(-x + y + 4) = 4x - 2y - 10 \] \[ F_y(x,y) = 2(y - 2) + 2(1)(-x + y + 4) = -2x + 4y + 4 \]

جعل المشتقات الجزئية مساوية للصفر وحل النظام ينتج عنه النقطة الحرجة:

\[ \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}\right) \]

إحداثي \( z \) المقابل على المستوى هو:

\[ z = 3 - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

الاختبار باستخدام المشتقة الثانية يعطي \( D = (4)(4) - (-2)^2 = 12 > 0 \) و \( F_{xx} = 4 > 0 \)، مما يؤكد وجود قيمة صغرى عند النقطة \( \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \).

أقصر مسافة \( d \) هي:

\[ d = \sqrt{\left(1 - \frac{8}{3}\right)^2 + \left(2 - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(-1 - \frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{25}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{\sqrt{3}} \]

المزيد من المراجع والروابط