مقدمة في الدوال متعددة المتغيرات

التعريف، التطبيقات الواقعية، والنمذجة الرياضية

الدالة متعددة المتغيرات هي دالة ذات عدة متغيرات مستقلة. تُعد الدوال ذات أكثر من متغير ضرورية من أجل النمذجة الرياضية للظواهر الفيزيائية المعقدة، والأنظمة الهندسية، والكيميائية، والزراعية، والاقتصادية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

أمثلة على الدوال متعددة المتغيرات

استكشف كيف تعتمد الكميات الهندسية والفيزيائية المختلفة على متغيّرات متعددة.

المثال 1: مساحة مستطيل

يحتوي المستطيل على عرض \( W \) وطول \( L \). تُعطى مساحة \( A \) للمستطيل بالصيغة:

\[ A = W \cdot L \]

من الواضح أنه إذا تغير كل من \( W \) و \( L \)، فإن المساحة \( A \) تعتمد على متغيرين: العرض \( W \) والطول \( L \). وبالتالي، يقال إن \( A \) دالة في متغيرين، وتُكتب كـ \( A(W, L) \).

المثال 2: حجم مجسم مستطيل

يحتوي المجسم المستطيل على عرض \( W \) وطول \( L \) وارتفاع \( H \). يُعطى حجم \( V \) للمجسم المستطيل بالصيغة:

\[ V = W \cdot L \cdot H \]

إذا تفاوتت \( W \) و \( L \) و \( H \)، فإن الحجم \( V \) يعتمد على 3 متغيرات: العرض \( W \) والطول \( L \) والارتفاع \( H \)، مما يجعله دالة في ثلاثة متغيرات \( V(W, L, H) \).

المثال 3: حجم اسطوانة دائرية

يُعطى حجم \( V \) للاسطوانة الدائرية ذات نصف القطر \( r \) والارتفاع \( h \) بالصيغة:

\[ V = \pi r^2 h \]

إذا تغير كل من \( r \) و \( h \)، فيمكننا القول إن الحجم \( V \) هو دالة في متغيرين \( r \) و \( h \)، ويُرمز إليه بـ \( V(r, h) \).

المثال 4: درجة حرارة الغرفة عبر الفضاء والزمن

لتكن \( T \) درجة الحرارة في الغرفة. باستخدام نظام إحداثيات مستطيل للمحاور \( (x, y, z) \)، يمكن أن تتغير درجة الحرارة \( T \) مع الموضع المكاني \( (x, y, z) \) والزمن \( t \). ويمكن التعبير عنها كـ:

\[ T(x, y, z, t) \]

تمثل هذه دالة في 4 متغيرات (ثلاث إحداثيات مكانية وإحداثي زمني واحد).

المراجع والروابط