القيم العظمى والصغرى لدوال في متغيرين

القيم القصوى النسبية، نقاط السرج، اختبار المشتقة الثانية، والحلول التفصيلية

تحديد القيم العظمى والصغرى النسبية ونقاط السرج لدوال في متغيرين. يتم عرض العديد من الأمثلة مع حلول تفصيلية. تُظهر الرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد للدوال لتأكيد وجود هذه النقاط. المزيد عن مسائل التحسين لدوال في متغيرين متاح على هذا الموقع.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

نظرية: اختبار المشتقة الثانية لدوال في متغيرين

لتكن \( f \) دالة في متغيرين لها مشتقات جزئية ثانية متصلة \( f_{xx} \) و \( f_{yy} \) و \( f_{xy} \) عند نقطة حرجة \( (a, b) \). ليكن:

\[ D = f_{xx}(a, b) f_{yy}(a, b) - f_{xy}^2(a, b) \]

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

حدد النقاط الحرجة وحدد أي قيم صغرى نسبية، وعظمى نسبية، ونقاط سرج للدالة \( f \) المعرفة كما يلي:

\[ f(x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]
عرض حل المثال 1

أوجد المشتقات الجزئية الأولى \( f_x \) و \( f_y \):

\[ f_x(x, y) = 4x + 2y - 6 \] \[ f_y(x, y) = 2x + 4y \]

تحقق النقاط الحرجة المعادلتين \( f_x(x, y) = 0 \) و \( f_y(x, y) = 0 \) آنياً:

\[ 4x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2x + 4y = 0 \implies x = -2y \]

عوض بـ \( x = -2y \) في المعادلة الأولى:

\[ 4(-2y) + 2y - 6 = 0 \implies -6y = 6 \implies y = -1 \]

إذن \( x = -2(-1) = 2 \). للنظام نقطة حرجة واحدة عند \( (2, -1) \).

أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية:

\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 4, \quad f_{xy}(x, y) = 2 \]

احسب \( D \) عند \( (2, -1) \):

\[ D = f_{xx}(2, -1) f_{yy}(2, -1) - f_{xy}^2(2, -1) = (4)(4) - 2^2 = 16 - 4 = 12 \]

بما أن \( D = 12 > 0 \) و \( f_{xx}(2, -1) = 4 > 0 \)، فإن للدالة \( f \) قيمة صغرى محليه عند \( (2, -1) \).

يؤكد الرسم البياني ثلاثي الأبعاد وجود قيمة صغرى محلية عند \( (2, -1, f(2, -1)) = (2, -1, -6) \).

critical points example 1, local minimum
الشكل 1. قيمة صغرى محلية عند (2,-1,-6)

المثال 2

حدد النقاط الحرجة وحدد أي قيم صغرى نسبية، وعظمى نسبية، ونقاط سرج للدالة \( f \) المعرفة كما يلي:

\[ f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^4 + 2 \]
عرض حل المثال 2

أوجد المشتقات الجزئية الأولى \( f_x \) و \( f_y \):

\[ f_x(x, y) = 4x - 4y \] \[ f_y(x, y) = -4x + 4y^3 \]

حل المعادلتين \( f_x(x, y) = 0 \) و \( f_y(x, y) = 0 \) آنياً:

\[ 4x - 4y = 0 \implies x = y \]

عوض بـ \( x = y \) في \( -4x + 4y^3 = 0 \):

\[ -4y + 4y^3 = 0 \implies 4y(y^2 - 1) = 0 \implies y = 0, \; y = 1, \; y = -1 \]

باستخدام \( x = y \)، النقاط الحرجة هي:

\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]

أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية:

\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = -4 \]

احسب \( D \) و \( f_{xx} \) عند كل نقطة حرجة:

Critical Point \( (a, b) \) \( (0, 0) \) \( (1, 1) \) \( (-1, -1) \)
\( f_{xx}(a, b) \) 4 4 4
\( f_{yy}(a, b) \) 0 12 12
\( f_{xy}(a, b) \) -4 -4 -4
\( D \) -16 32 32
Conclusion Saddle Point Relative Minimum Relative Minimum
critical points example 2, 2 local minima and one saddle point
الشكل 2. قيمتان صغريتان محليتان ونقطة سرج واحدة

المثال 3

حدد النقاط الحرجة وحدد أي قيم صغرى نسبية، وعظمى نسبية، ونقاط سرج للدالة \( f \) المعرفة كما يلي:

\[ f(x, y) = -x^4 - y^4 + 4xy \]
عرض حل المثال 3

أوجد المشتقات الجزئية الأولى \( f_x \) و \( f_y \):

\[ f_x(x, y) = -4x^3 + 4y \] \[ f_y(x, y) = -4y^3 + 4x \]

حل \( f_x = 0 \) و \( f_y = 0 \):

\[ -4x^3 + 4y = 0 \implies y = x^3 \]

عوض بـ \( y = x^3 \) في المعادلة الثانية:

\[ -4(x^3)^3 + 4x = 0 \implies -4x^9 + 4x = 0 \implies -4x(x^8 - 1) = 0 \implies x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \]

الحلول الحقيقية لـ \( x \) هي \( x = 0, 1, -1 \). باستخدام \( y = x^3 \)، تكون النقاط الحرجة هي:

\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]

المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية:

\[ f_{xx}(x, y) = -12x^2, \quad f_{yy}(x, y) = -12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = 4 \]
Critical Point \( (a, b) \) \( (0, 0) \) \( (1, 1) \) \( (-1, -1) \)
\( f_{xx}(a, b) \) 0 -12 -12
\( f_{yy}(a, b) \) 0 -12 -12
\( f_{xy}(a, b) \) 4 4 4
\( D \) -16 128 128
Conclusion Saddle Point Relative Maximum Relative Maximum
critical points example 3, 2 local maxima and one saddle point
الشكل 3. قيمتان عظميان محليتان ونقطة سرج واحدة

التمارين

حدد النقاط الحرجة للدوال أدناه واكتشف ما إذا كانت كل نقطة تتوافق مع قيمة صغرى نسبية، عظمى نسبية، أو نقطة سرج. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 2xy - 8x \)

عرض الإجابة

النقطة الحرجة عند \( (6, 2) \). بما أن \( f_{xx} = 2 > 0 \) و \( D = 2(6) - (-2)^2 = 8 > 0 \)، توجد قيمة صغرى نسبية عند \( (6, 2) \).

التمرين 2

\( f(x, y) = x^3 - 12x + y^3 + 3y^2 - 9y \)

عرض الإجابة

النقاط الحرجة هي \( (2, 1), (2, -3), (-2, 1), (-2, -3) \):

  • قيمة صغرى نسبية عند \( (2, 1) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = 12 > 0 \))
  • قيمة عظمى نسبية عند \( (-2, -3) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = -12 < 0 \))
  • نقاط سرجية عند \( (2, -3) \) و \( (-2, 1) \) (\( D = -144 < 0 \))

المزيد من الروابط حول المشتقات الجزئية والدوال متعددة المتغيرات