How is Euler's formula derived using Taylor series?

Euler's formula is derived by substituting z = ix into the Taylor series expansion of e^z, simplifying the powers of the imaginary unit i, and separating the resulting series into real and imaginary parts corresponding to the Maclaurin series of cos(x) and sin(x).

برهان صيغة أويلر – الاشتقاق باستخدام متسلسلة تايلور

يُعرض أدناه برهان صيغة أويلر باستخدام متسلسلات تايلور.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

اشتقاق صيغة أويلر

بالرجوع إلى جداول الصيغ الرياضية، يُعطى نشر متسلسلة تايلور للدالة \( e^z \) كالتالي:

\[ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \frac{z^7}{7!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \]

لتكن \( z = ix \)، حيث \( x \) عدد حقيقي و \( i = \sqrt{-1} \) هي الوحدة التخيلية:

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \dots \]

فك قوى \( ix \):

\[ e^{ix} = 1 + ix + i^2 \frac{x^2}{2!} + i^3 \frac{x^3}{3!} + i^4 \frac{x^4}{4!} + i^5 \frac{x^5}{5!} + i^6 \frac{x^6}{6!} + i^7 \frac{x^7}{7!} + \dots + i^n \frac{x^n}{n!} + \dots \]

باستخدام الخصائص الدورية لقوى \( i \):

\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^3 \cdot i = 1 \)
\( i^5 = i^4 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^5 \cdot i = -1 \)
\( i^7 = i^6 \cdot i = -i \)

تعويض هذه القيم مرة أخرى في النشر:

\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \dots \]

تجميع الحدود الحقيقية معاً وإخراج \( i \) كعامل مشترك من الحدود التخيلية يعطي المعادلة \( (I) \):

\[ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \quad (I) \]

من جداول الصيغ الرياضية، متسلسلات تايلور للدالة \( \sin x \) و \( \cos x \) هي:

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

بتعويض هذه المتسلسلات في المعادلة \( (I) \)، الجزء الحقيقي يوافق \( \cos x \) والجزء التخيلي يوافق \( \sin x \):

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

اشتقاق صيغة أويلر

المزيد من المراجع والروابط