جداول الصيغ الرياضية

1. المضاعفات العشرية

2. المتسلسلات

متسلسلة ماكلورين

1. \( e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2!} + \dots + \dfrac{x^{n}}{n!} + \dots \) لجميع \( x \)
2. \( \sin x = x - \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{5}}{5!} - \dfrac{x^{7}}{7!} + \dots \) لجميع \( x \)
3. \( \cos x = 1 - \dfrac{x^{2}}{2!} + \dfrac{x^{4}}{4!} - \dfrac{x^{6}}{6!} + \dots \) لجميع \( x \)
4. \( \ln(1 + x) = x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3} - \dots + (-1)^{n+1} \dfrac{x^{n}}{n} + \dots \) لـ \( -1 < x \le 1 \)
5. \( \tan x = x + \dfrac{1}{3} x^{3} + \dfrac{2}{15} x^{5} + \dfrac{17}{315} x^{7} + \dots \) لـ \( -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \)
6. \( \arcsin x = x + \dfrac{1}{2} \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \dfrac{x^{7}}{7} + \dots \) لـ \( -1 < x < 1 \)
7. \( \arctan x = x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dots \) لـ \( -1 < x < 1 \)
8. \( \sinh x = x + \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{5}}{5!} + \dfrac{x^{7}}{7!} + \dots \) لجميع \( x \)
9. \( \cosh x = 1 + \dfrac{x^{2}}{2!} + \dfrac{x^{4}}{4!} + \dfrac{x^{6}}{6!} + \dots \) لجميع \( x \)
10. \( \text{arcsinh } x = x - \dfrac{1}{2} \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \dfrac{x^{7}}{7} + \dots \) لـ \( -1 < x < 1 \)
11. \( \dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots \) لـ \( -1 < x < 1 \)

المتسلسلة الحسابية

12. \[ S_{n} = a + (a + d) + (a + 2d) + \dots + (a + [n - 1]d) \] \[ = \dfrac{n}{2}[\text{الحد الأول} + \text{الحد الأخير}] \] \[ = \dfrac{n}{2}[a + (a + [n - 1]d)] \]

المتسلسلة الهندسية

13. \( S_{n} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \dots + ar^{n-1} = a \dfrac{1 - r^{n}}{1 - r} \)

متسلسلات الأعداد الصحيحة

14. \( 1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{1}{2} n (n + 1) \)
15. \( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \dfrac{1}{6} n (n + 1)(2n + 1) \)
16. \( 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \left( \dfrac{1}{2} n (n + 1) \right)^{2} \)

3. المضروب، التباديل والتوافيق

1. \( n \) مضروب = \( n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 \)
2. تباديل \( n \) من الأشياء مأخوذة \( r \) في كل مرة:
   
   \[ nP_r = \dfrac{n!}{(n - r)!} \]
3. توافيق \( n \) من الأشياء مأخوذة \( r \) في كل مرة:
   
   \[ nC_r = \dfrac{n!}{r!(n - r)!} \]

4. مفكوك ذي الحدين (الصيغة)

1. إذا كانت \( n \) عدداً صحيحاً موجباً، يمكننا فك \( (x + y)^{n} \) كالتالي:
   \[ (x + y)^{n} = \binom{n}{0} x^{n} + \binom{n}{1} x^{n - 1} y + \binom{n}{2} x^{n - 2} y^{2} + \dots + \binom{n}{n} y^{n} \]
   معامل ذي الحدين العام \( \binom{n}{r} \) يُعطى بـ:
   \[ \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n - r)!} \]

5. الصيغ المثلثية

صيغ مجموع / فرق الزوايا

1. \( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)
2. \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
3. \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
4. \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)
5. \( \tan(A + B) = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \)
6. \( \tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \)

صيغ مجموع / فرق الدوال المثلثية

7. \( \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\dfrac{A + B}{2}\right) \cos\left(\dfrac{A - B}{2}\right) \)
8. \( \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\dfrac{A + B}{2}\right) \sin\left(\dfrac{A - B}{2}\right) \)
9. \( \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\dfrac{A + B}{2}\right) \cos\left(\dfrac{A - B}{2}\right) \)
10. \( \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\dfrac{A + B}{2}\right) \sin\left(\dfrac{A - B}{2}\right) \)

صيغ حاصل ضرب الدوال المثلثية

11. \( 2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B) \)
12. \( 2 \cos A \sin B = \sin(A + B) - \sin(A - B) \)
13. \( 2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B) \)
14. \( 2 \sin A \sin B = -\cos(A + B) + \cos(A - B) \)

صيغ مضاعفات الزوايا

15. \( \sin 2A = 2 \sin A \cos A \)
16. \( \cos 2A = \cos^{2} A - \sin^{2} A = 2 \cos^{2} A - 1 = 1 - 2 \sin^{2} A \)
17. \( \sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^{3} A \)
18. \( \cos 3A = 4 \cos^{3} A - 3 \cos A \)

صيغ تخفيض الأسس

19. \( \sin^{2} A = \dfrac{1}{2} [1 - \cos 2A] \)
20. \( \cos^{2} A = \dfrac{1}{2} [1 + \cos 2A] \)

المزيد من جداول الصيغ

• جدول المشتقات
• جدول التكاملات
• جدول تحويلات لابلاس
• جدول تحويلات فورييه
• الصفحة الرئيسية لأنايلايز ماث