تبسيط الجذور - أسئلة مع الحلول للصف العاشر

اكتب 128 و 32 كحاصل ضرب عوامل أولية: $128 = 2^7$، $32 = 2^5$.

$$ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} $$

$$ = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 $$

استخدم قاعدة الضرب لكتابة $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12}$.

$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} $$

$$ = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} $$

$$ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$

اكتب 14 و 63 كحاصل ضرب أعداد أولية ($14 = 2 \times 7$، $63 = 3^2 \times 7$) وعوض:

$$ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} $$

$$ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $$

$$ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} $$

$$ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 $$

اكتب 32 و 16 كحاصل ضرب أعداد أولية ($32 = 2^5$، $16 = 2^4$) وعوض:

$$ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} $$

$$ = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$

اكتب 64 كحاصل ضرب أعداد أولية ($64 = 2^6$) وعوض:

$$ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} $$

أنطق المقام بضرب البسط والمقام في $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$:

$$ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} $$

اكتب 54 كحاصل ضرب أعداد أولية ($54 = 2 \times 3^3$) وعوض:

$$ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} $$

$$ = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} $$

$$ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} $$

اضرب المقام والبسط في مرافق المقام:

$$ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $$

فك الأقواس وبسط:

$$ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} $$

$$ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{x - (x + 1)} $$

$$ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} $$

$$ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} $$

$$ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = 5\sqrt[3]{25} $$

أولاً، بسط الجذور التكعيبية المعلومة ($\sqrt[3]{64} = 4$):

$$ (5 \cdot 4)(-3\sqrt[3]{16}) = 20(-3\sqrt[3]{16}) = -60\sqrt[3]{16} $$

بسط $\sqrt[3]{16}$ على صورة $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$:

$$ -60(2\sqrt[3]{2}) = -120\sqrt[3]{2} $$

$$ (7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} $$

$$ = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28 $$

حول العدد الكسري إلى كسر غير حقيقي:

$$ \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} $$

$$ (\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} $$

$$ = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2} $$

(بافتراض أن $x \ge 0$ كما هو مطلوب في التعبير الأصلي).

$$ \sqrt{4y^2} = 2|y| $$

$$ \sqrt{8y^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (y^2)^2} = 2y^2\sqrt{2} $$

$$ \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 $$

لأن $2n$ يمثل دليلاً زوجياً:

$$ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $$

$$ (\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2) $$

اجمع باستخدام قاعدة القسمة للجذور:

$$ \dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{27a^3b^5}{8a^6b^2}} $$

بسط الكسر داخل الجذر:

$$ = \sqrt[3]{\dfrac{27b^3}{8a^3}} $$

استخرج المكعبات الكاملة:

$$ = \dfrac{3b}{2a} $$

اضرب البسط والمقام في مرافق المقام، $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$:

$$ \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-2})^2} $$

فك البسط وبسط المقام:

$$ = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{x - (x-2)} $$

$$ = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} $$

اقسم جميع حدود البسط على 2:

$$ = x - 1 - \sqrt{x(x-2)} $$