تحليل كثيرات الحدود بإخراج العامل المشترك: دليل وحلول للتدريب

قانون التوزيع العكسي

يعتمد التحليل بإخراج العامل المشترك على استخدام قانون التوزيع بشكل عكسي:

التوزيع القياسي:

\[ a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]

العكسي (التحليل):

\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]

في هذه الطريقة، نحدد عاملاً $a$ مشتركاً في جميع الحدود وننقله خارج الأقواس.

أمثلة أساسية

المثال 1: $ 2x + 4 = \color{red}{2} \cdot x + \color{red}{2} \cdot 2 = 2(x + 2) $. العامل المشترك هو 2.
المثال 2: $ 3x^2 - x = \color{red} 3x \cdot {x} - 1 \cdot \color{red}{x} = x(3x - 1) $. العامل المشترك هو $x$.

ملاحظة: للتحقق من صحة التحليل، قم ببساطة بفك النتيجة لترى ما إذا كنت ستعود إلى كثيرة الحدود الأصلية.

أمثلة تمهيدية محلولة

حدد العامل المشترك الأكبر (GCF) وحلل كثيرات الحدود التالية تحليلاً كاملاً.

المثال أ: $ 9x - 6 $

الحل: استخدم التحليل إلى العوامل الأولية لإيجاد العوامل المشتركة: $ \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} $. العامل المشترك الأكبر هو 3. النتيجة: $ 3(3x - 2) $.

المثال ب: $ 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 $

الحل: العامل المشترك الأكبر للمعاملات (16، 8، 4) هو 4. المتغير المشترك هو $x$. العامل المشترك الأكبر هو $4x$. النتيجة: $ 4x(4x^2 + 2xy + y^2) $.

المثال ج: $ 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) $

الحل: لاحظ أن $(x + 5)$ هو عامل ثنائي الحد مشترك. أخرجه كعامل مشترك أولاً: $ (x + 5)(2x^4 + x^2) $. ثم أخرج $x^2$ كعامل مشترك من الجزء المتبقي. النتيجة: $ x^2(x + 5)(2x^2 + 1) $.

مسائل تدريبية شاملة

استخدم العوامل المشتركة لتحليل كثيرات الحدود التالية تحليلاً كاملاً. يتضمن كل سؤال حلاً مفصلاً.

السؤال 1: حلل \[ -3x + 9 \]

عرض الحل

عبّر عن كلا الحدين باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية:

\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]

العامل المشترك الأكبر هو $ \color{red}{3} $. عند إخراجه كعامل، نحصل على:

\[ = \color{red}{3}(-x + 3) \]

للحصول على حد رئيسي موجب داخل الأقواس، يمكننا إخراج $-3$ كعامل مشترك:

\[ = -3(x - 3) \]

السؤال 2: حلل \[ 28x + 2x^2 \]

عرض الحل

حدد العوامل المشتركة من خلال التحليل إلى العوامل الأولية:

\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]

العامل المشترك الأكبر هو $ \color{red}{2x} $:

\[ = \color{red}{2x}(14 + x) \text{ or } 2x(x + 14) \]

السؤال 3: حلل \[ 11xy + 55x^2y \]

عرض الحل

اكتب التحليل إلى العوامل الأولية لكل حد:

\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]

العامل المشترك الأكبر هو $ \color{red}{11xy} $:

\[ = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]

السؤال 4: حلل \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \]

عرض الحل

حدد العامل المشترك الأكبر بتحليل الحدود الثلاثة جميعها:

\[ 20xy = 2^2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \]

\[ 35x^2y = 7 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]

\[ -15xy^2 = -3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]

العامل المشترك الأكبر هو $ \color{red}{5xy} $:

\[ = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]

السؤال 5: حلل \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \]

عرض الحل

1. أولاً، أخرج العامل ثنائي الحد المشترك $ (x + 1) $:

\[ (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]

2. الآن، حدد العامل المشترك الأكبر للحدود المتبقية داخل القوسين الثانيين ($5y, 10y^2, -15xy$). العامل المشترك الأكبر هو $ \color{red}{5y} $:

\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5y}(1 + 2y - 3x) \]

3. اجمع كلا الخطوتين للحصول على الصيغة النهائية المحللة:

\[ = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]

قانون التوزيع العكسي

أمثلة أساسية

أمثلة تمهيدية محلولة

مسائل تدريبية شاملة

واصل تدريبك في الجبر