القاسم المشترك الأكبر (GCF) لوحيدات الحد

شرح خطوة بخطوة، أمثلة محلولة، وحلول تفصيلية

في الجبر، القاسم المشترك الأكبر (GCF) لاثنين أو أكثر من وحيدات الحد هو أكبر وحيدة حد تقسم جميعها بالتساوي. تُعد هذه مهارة أساسية لتحليل كثيرات الحدود وتبسيط التعبيرات النسبية.

طريقة التحليل إلى العوامل الأولية

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر، نستخدم التحليل إلى العوامل الأولية لتفكيك كل وحيدة حد إلى مكوناتها الأساسية (المعاملات والمتغيرات).

  1. اكتب التحليل إلى العوامل الأولية لكل معامل عددي.
  2. اكتب المتغيرات بأقل أس يظهر منها في المجموعة.
  3. اضرب العوامل العددية المشتركة وعوامل المتغيرات ببعضها.

أمثلة محلولة

المثال 1: وحيدتا حد

أوجد القاسم المشترك الأكبر للحدين \( 12x \) و \( 18x^2 \).

عرض الحل

1. التحليل إلى العوامل الأولية للحد \( 12x \):
\[ 12x = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \]

2. التحليل إلى العوامل الأولية للحد \( 18x^2 \):
\[ 18x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x} \cdot x \]

3. حدد العوامل المشتركة: \( 2 \)، \( 3 \)، و \( x \).

\[ \text{GCF}(12x, 18x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6x} \]

المثال 2: متغرات متعددة

أوجد القاسم المشترك الأكبر للحدود \( 30x^2y^3 \)، \( 42x^3y^2 \)، و \( 18x^2y^2 \).

عرض الحل

التحليلات إلى العوامل الأولية:

  • \( 30x^2y^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \)
  • \( 42x^3y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \)
  • \( 18x^2y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \)

القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب العوامل المشتركة:

\[ \text{GCF} = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{6x^2y^2} \]

أسئلة تدريبية مع حلول تفصيلية

طبق طريقة التحليل إلى العوامل الأولية لحل المسائل التالية.

السؤال 1: أوجد القاسم المشترك الأكبر للحدين \( 36x^2 \) و \( 42x^3 \).

عرض الحل
\[ 36x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 42x^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \]

القاسم المشترك الأكبر: \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x = \color{red}{6x^2} \)

السؤال 2: أوجد القاسم المشترك الأكبر للحدود \( 45x^3 \)، \( 60x^2 \)، و \( 75x^4 \).

عرض الحل
\[ 45x^3 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \] \[ 60x^2 = \color{red} 2 \cdot 2 \cdot {3} \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 75x^4 = \color{red}{3 \cdot 5} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \]

القاسم المشترك الأكبر: \( 3 \cdot 5 \cdot x^2 = \color{red}{15x^2} \)

السؤال 3: أوجد القاسم المشترك الأكبر للحدود \( 50x^2y^3 \)، \( 75x^2y^2 \)، و \( 125x^4y^3 \).

عرض الحل
\[ 50x^2y^3 = \color{red} 2 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \] \[ 75x^2y^2 = \color{red} 3 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \] \[ 125x^4y^3 = \color{red} 5 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \]

القاسم المشترك الأكبر: \( 5 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{25x^2y^2} \)

السؤال 4: بسط التعبير النسبي باستخدام القاسم المشترك الأكبر:

\[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} \]

عرض الحل

أولاً، أوجد التحليل إلى العوامل الأولية للبسط والمقام:

\[ 35x^3y^2 = 5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x \] \[ 42x^2y^3 = 2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y \]

احذف عوامل القاسم المشترك الأكبر المشتركة \( (7x^2y^2) \):

\[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} = \dfrac{5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y} = \dfrac{5x}{6y} \]

طور مهاراتك الجبرية