أسئلة ومسائل القطع المكافئ مع حلول تفصيلية

استكشف مجموعة من مسائل القطع المكافئ. كما توفر حلول مفصلة مع الشروحات للمساعدة في تعميق فهمك.

المسألة 1

أوجد المقطع السيني والصادي، والرأس، ومحور التماثل للقطع المكافئ الذي معادله \( y = - x^2 + 2 x + 3 \)؟

عرض الحل

المقطعان السينيان هما نقطتا تقاطع القطع المكافئ مع محور السينات، وهما نقطتان تقعان على محور السينات وبالتالي إحداثياتهما الصادية تساوي 0. لذلك، يجب علينا حل المعادلة:

\[ 0 = - x^2 + 2x + 3 \]

تحليل الطرف الأيمن من المعادلة:

\[ -(x - 3)(x + 1) = 0 \]

الحل بالنسبة لـ x لإيجاد:

\[ x = 3 \quad \text{و} \quad x = -1 \]

المقاطع الصادية هي نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور الصادات، وهي نقطة تقع على محور الصادات، وبالتالي إحداثياتها السينية تساوي 0.

المقطع الصادي هو: \( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \)

يتم إيجاد الرأس كتابة معادلة القطع المكافئ في صورة الرأس \( y = a(x - h)^2 + k \) عن طريق إتمام المربع وتحديد إحداثيات الرأس \( h \) و \( k \).

إتمام المربع:

\[ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \]

الرأس عند النقطة: \( (1 , 4) \)

يمكنك التحقق من جميع النقاط المذكورة أعلاه باستخدام الرسم البياني لـ \( y = - x^2 + 2 x + 3 \) الموضح أدناه.

المقاطع السينية والصادية للقطع المكافئ

المسألة 2

ما هي نقاط تقاطع المستقيم الذي معادله \( 2x + 3y = 7 \) والقطع المكافئ الذي معادله \( y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \)؟

عرض الحل

نقاط التقاطع هي حلول المعادلتين الآنيتين

\[ 2x + 3y = 7 \quad \text{و} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \]
.

عوض بـ \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) بدلاً من \( y \) في معادلة المستقيم \( 2x + 3y = 7 \) للحصول على:

\[ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \]

اكتب المعادلة التربيعية الناتجة في الصورة القياسية:

\[ -6x^2 + 8x + 8 = 0 \]

اقسم جميع حدود المعادلة على 2.

\[ -3x^2 + 4x + 4 = 0 \]

حل المعادلة بالنسبة لـ x:

\[ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 \]

عوض بقيم x السابقة في المعادلة \( 2x + 3y = 7 \) لإيجاد y.

\[ x = 2 , y = 1 \quad \text{و} \quad x = -\frac{2}{3}, \quad y = \frac{25}{9} \]

نقاط التقاطع هي:

\[ (2 , 1) \quad \text{و} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9} ) \]

تحقق من الإجابة رسومياً أدناه.

تقاطع مستقيم وقطع مكافئ

المسألة 3

ما هي نقاط التقاطع بين القطعين المكافئين اللذين بمعادلتين \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) و \( y = x^2 - 4x + 1 \)؟

عرض الحل

نقاط تقاطع القطعين المكافئين هي حلول المعادلتين الآنيتين:

\[ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad \text{و} \quad y = x^2 - 4x + 1 \]

عوض بـ \( -(x - 3)^2 + 2 \) بدلاً من \( y \) في المعادلة الثانية:

\[ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \]

انشر، وجمع الحدود المتشابهة، واكتب في الصورة القياسية:

\[ -2x^2 + 10x - 8 = 0 \]

اقسم جميع الحدود على \( -2 \):

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

حلول المعادلة التربيعية السابقة هي:

\[ x = 1 \quad \text{و} \quad x = 4 \]

استخدم إحدى المعادلتين لإيجاد y:

عوض \( x = 1 \) في المعادلة \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) للحصول على \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)

عوض \( x = 4 \) في المعادلة \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) للحصول على \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)

نقاط التقاطع هي:

\[ (1 , -2) \quad \text{و} \quad (4 , 1) \]

تحقق من الإجابة رسومياً أدناه.

تقاطع قطعين مكافئين

المسألة 4

أوجد معادلة القطع المكافئ \( y = 2 x^2 + b x + c \) الذي يمر بالنقطتين \( (-1,-5) \) و \( (2,10) \).

عرض الحل

النقطتان \( (-1,-5) \) و \( (2,10) \) تقعان على منحنى القطع المكافئ \( y = 2 x^2 + b x + c \) وبالتالي فهما حلان لمعادلة القطع المكافئ. بالتعويض بإحداثيات النقطتين، نحصل على المعادلتين:

\[ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c \]

و

\[ 10 = 2 (2)^2 + b (2) + c \]

أعد كتابة النظام السابق بالمجهولين \( b \) و \( c \) في الصورة القياسية:

\[ - b + c = - 7 \]
\[ 2b + c = 2 \]

حل نظام المعادلات السابق للحصول على: \( c = - 4 \) و \( b = 3 \)

معادلة القطع المكافئ المار بالنقطتين \( (-1,-5) \) و \( (2,10) \) هي:

\[ y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4 \]

استخدم برنامج رسم بياني للتحقق من إجابتك برسم \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) والتحقق من أن المنحنى يمر بالنقطتين \( (-1,-5) \) و \( (2,10) \).

المسألة 5

ما هي معادلة القطع المكافئ الذي له مقطعان سينيان عند \( x = 2 \) و \( x = -3 \)، ومقطع صادي عند \( y = 5 \)؟

عرض الحل

يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ الذي له مقطعان سينيان عند \( x = 2 \) و \( x = -3 \) على صورة حاصل ضرب عاملين أصفارهما هما المقطعان السينيان كالتالي:

\[ y = a(x - 2)(x + 3) \]

نستخدم الآن المقطع الصادي عند النقطة (0, 5)، وهي نقطة يمر بها القطع المكافئ، لنكتب:

\[ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \]

حل المعادلة لإيجاد \( a \):

\[ a = - \dfrac{5}{6} \]

المعادلة:

\[ y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3) \]

ارسم \( y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3) \) وتأكد من أن المنحنى له مقطعان سينيان عند \( x = 2 , x = -3 \) ومقطع صادي عند \( y = 5 \).

المسألة 6

أوجد معادلة القطع المكافئ \( y = a x^2 + b x + c \) الذي يمر بالنقاط \( (0,3) \)، \( (1,-4) \) و \( (-1 , 4) \).

عرض الحل

النقاط \( (0,3), (1,-4) \) و \( (-1,4) \) تقع على منحنى القطع المكافئ \( y = a x^2 + b x + c \) وبالتالي فهي حلول لمعادلة القطع المكافئ. لذلك، نكتب نظام المعادلات الثلاث كالتالي:

\[ (0,3) \Rightarrow c = 3 \quad (I) \]
\[ (1,-4) \Rightarrow a + b + c = -4 \quad (II) \]
\[ (-1,4) \Rightarrow a - b + c = 4 \quad (III) \]

المعادلة (I) تعطي:

\[ c = 3 \]

عوض بالعدد 3 بدلاً من c في المعادلتين (II) و (III):

\[ a + b = -7 \]
\[ a - b = 1 \]

حل النظام لإيجاد \( a \) و \( b \) للحصول على:

\[ a = - 3 \; , \; b = - 4 \]

معادلة القطع المكافئ هي:

\[ y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \]

ارسم منحنى \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) وتأكد من أن المنحنى يمر بالنقاط \( (0,3), (1,-4) \) و \( (-1 ,4) \).

المسألة 7

أوجد معادلة القطع المكافئ، ذي محور التماثل الرأسي، والذي يمس المستقيم \( y = 3 \) عند \( x = -2 \) ويمر رسمه البياني بالنقطة \( (0,5) \).

عرض الحل

معادلة القطع المكافئ، ذي محور التماثل الرأسي، تكون على الصورة \( y = a x^2 + b x + c \) أو في صورة الرأس \( y = a(x - h)^2 + k \) حيث الرأس يقع عند النقطة \( (h , k) \).

في هذه الحالة، يكون مماساً لمستقيم أفقي \( y = 3 \) عند \( x = -2 \) مما يعني أن رأسه يقع عند النقطة \( (h , k) = (-2 , 3) \). بناءً على ذلك، يمكن كتابة معادلة هذا القطع المكافئ كالتالي:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \]

رسمه البياني يمر بالنقطة \( (0 , 5) \) والتي يجب أن تحقق المعادلة:

\[ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a + 3 \]

حل المعادلة السابقة لإيجاد \( a \):

\[ a = \dfrac{1}{2} \]

معادلة القطع المكافئ هي:

\[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 \]

ارسم منحنى \( y = \dfrac{1}{2} (x + 2)^2 + 3 \) وتأكد من أن المنحنى مماس للمستقيم الأفقي \( y = 3 \) عند \( x = -2 \) وأنه يمر أيضاً بالنقطة \( (0 , 5) \).

المسألة 8

ما هي قيمة الميل \( m \) التي تجعل المستقيم ذو المعادلة \( y = m x - 3 \) مماساً للقطع المكافئ ذي المعادلة \( y = 3 x^2 - x \)؟

عرض الحل

يكون المستقيم والقطع المكافئ متماسين إذا كان لهما نقطة تقاطع واحدة فقط، وهي نقطة التماس. يتم إيجاد نقاط التقاطع بحل النظام:

\( y = m x - 3 \) و \( y = 3 x^2 - x \)

عوض بـ \( m x - 3 \) بدلاً من \( y \) في المعادلة الثانية:

\[ mx - 3 = 3 x^2 - x \]

اكتبها على صورة معادلة تربيعية قياسية:

\[ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \]

مميز المعادلة التربيعية السابقة يُعطى بالعلاقة:

\[ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \]

يكون المستقيم مماساً للقطع المكافئ إذا كان لهما نقطة تقاطع واحدة فقط، مما يعني أن:

\[ \Delta = 0 \]

إذن المعادلة هي:

\[ (1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \]

حل المعادلة بالنسبة لـ \( m \):

\[ (1 + m)^2 = 36 \]

الحلول هي:

\[ m = 5 \quad \text{و} \quad m = -7 \]

استخدم برنامج رسم بياني للتحقق من إجابتك برسم المستقيمات: \( y = 5 x - 3 \) (حل \( m = 5 \))، \( y = -7 x - 3 \) (حل \( m = -7 \)) والقطع المكافئ \( y = 3 x^2 - x \) والتحقق من أن المستقيمين مماسّان لمنحنى القطع المكافئ \( y = 3 x^2 - x \).

المسألة 9

ما هي قيم الوسيط \( b \) التي تجعل المستقيم ذو المعادلة \( y = 2 x + b \) يقطع القطع المكافئ ذي المعادلة \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) في نقطتين مختلفتين؟

عرض الحل

تُوجد نقاط التقاطع بحل النظام:

\[ y = 2 x + b \quad \text{و} \quad y = - x^2 - 2 x + 1 \]

عوض بـ \( 2 x + b \) بدلاً من \( y \) في المعادلة الثانية:

\[ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \]

اكتبها على صورة معادلة تربيعية قياسية:

\[ - x^2 - 4x + 1 - b = 0 \]

مميز المعادلة السابقة يُعطى بالعلاقة:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \]

يكون لرسمي \( y = 2 x + b \) و \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) نقطتا تقاطع إذا كان \( \Delta \gt 0 \) (حالة وجود حلين حقيقيين للمعادلة التربيعية)، ومن ثَمَّ المتباينة:

\[ 20 - 4 b \gt 0 \]

حل المتباينة بالنسبة لـ \( b \):

\[ b \lt 5 \]

استخدم برنامج رسم بياني للتحقق من إجابتك برسم منحنى \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) والمستقيمات ذات المعادلة \( y = 2 x + b \) لقيم \( b \gt 5 \) و \( b \lt 5 \) و \( b = 5 \) لرؤية عدد نقاط التقاطع للقطع المكافئ والمستقيم لكل قيمة من هذه القيم لـ \( b \).

المسألة 10

أوجد معادلة القطع المكافئ \( y = a x^2 + x \) المماس للمستقيم ذي المعادلة \( y = 3 x + 1 \).

عرض الحل

تُوجد نقاط التقاطع بحل النظام:

\[ y = a x^2 + x \quad \text{و} \quad y = 3 x + 1 \]

عوض بـ \( 3 x + 1 \) بدلاً من \( y \) في المعادلة \( y = a x^2 + x \):

\[ 3 x + 1 = a x^2 + x \]

اكتبها على صورة معادلة تربيعية قياسية:

\[ a x^2 - 2 x - 1 = 0 \]

مميز المعادلة التربيعية:

\[ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \]

يكون الرسمان متماسين إذا كان لهما نقطة تقاطع (حالة وجود حل واحد للمعادلة التربيعية) إذا كان \( \Delta = 0 \). ومن ثَمَّ:

\[ 4 + 4 a = 0 \]

حل المعادلة لإيجاد \( a \):

\[ a = -1 \]

معادلة القطع المكافئ:

\[ y = -x^2 + x \]

ارسم المنحنيين \( y = - x^2 + x \) و \( y = 3 x + 1 \) للتحقق من الإجابة أعلاه.

المسألة 11

أزح الرسم البياني للقطع المكافئ \( y = x^2 \) بمقدار 3 وحدات إلى اليسار، ثم اعكس الرسم الناتج حول محور السينات، ثم أزحه إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات. ما هي معادلة القطع المكافئ الجديد بعد هذه التحويلات؟

عرض الحل

ابدأ بـ:

\[ y = x^2 \]

الإزاحة 3 وحدات إلى اليسار:

\[ y = (x + 3)^2 \]

الإنعكاس حول محور السينات:

\[ y = -(x + 3)^2 \]

الإزاحة إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات:

\[ y = -(x + 3)^2 + 4 \]

المسألة 12

ما هي التحويلات اللازمة لتحويل الرسم البياني للقطع المكافئ \( y = x^2 \) إلى الرسم البياني للقطع المكافئ \( y = - x^2 + 4 x + 6 \)؟

عرض الحل

معطى:

\[ y = - x^2 + 4 x + 6 \]

أعد كتابتها في صورة الرأس بإتمام المربع:

\[ y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10 \]

البداية:

\[ y = x^2 \]

إزاحة بمقدار وحدتين إلى اليمين:

\[ y = (x - 2)^2 \]

إنعكاس حول محور السينات:

\[ y = -(x - 2)^2 \]

إزاحة للأعلى بمقدار 10 وحدات:

\[ y = -(x - 2)^2 + 10 \]

المسألة 13

اكتب معادلة القطع المكافئ الظاهر في الرسم البياني أدناه.

إيجاد معادلة قطع مكافئ من الرسم البياني
عرض الحل

يمكن استخدام أي نقطة محددة على الرسم البياني المعطى لإيجاد معادلة القطع المكافئ. ومع ذلك، فإن استخدام المقطعين السيني والصادي والرأس تُعتبر طرقاً أفضل لإيجاد معادلة القطع المكافئ الذي يظهر رسمه البياني أدناه.

تُعرض طريقتان لحل المسألة:

الطريقة الأولى:

للرسم مقطعان سينيان: (-5, 0) و (-1, 0)

استخدم المقطعين السينيين عند (-5, 0) و (-1, 0) لكتابة معادلة القطع المكافئ كحاصل ضرب عاملين خطيين:

\[ y = a(x + 1)(x + 5) \]

استخدم المقطع الصادي عند (0, -5) لكتابة:

\[ - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a \]

حل المعادلة لإيجاد \( a \):

\[ a = -1 \]

اكتب معادلة القطع المكافئ:

\[ y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 - 6 x - 5 \]

الطريقة الثانية:

استخدم الرأس عند \( ( h , k) = (-3 , 4) \) لكتابة معادلة القطع المكافئ في صورة الرأس كالتالي:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \]

استخدم المقطع الصادي (0, -5) لإيجاد \( a \).

\[ - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \]

حل المعادلة السابقة لإيجاد \( a \):

\[ a = -1 \]

معادلة القطع المكافئ هي:

\[ y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \]

مواضيع ذات صلة بالقطع المكافئ

المزيد من موارد الرياضيات