حل المعادلات الأسية
مسائل مع حلول خطوة بخطوة
هل تتطلع إلى إتقان المعادلات الأسية؟ يزود هذا الدليل طلاب الصف الثاني عشر بحلول واضحة ومفصلة باستخدام الطرق التحليلية والبيانية. ستتعلم تقنيات قوية مثل التعويض وقواعد الدوال الأسية واللوغاريتمية لحل المعادلات المعقدة بثقة.
نوضح أيضاً كيفية حل المعادلات الأسية بيانيا. للقيام بذلك، نعيد كتابة المعادلة أولاً على صورة $f(x) - g(x) = 0$. ثم نرسم الدالة $y = f(x) - g(x)$، وتُمثل نقاط التقاطع مع محور x للتمثيل البياني حلول المعادلة الأصلية.
مسائل التدريب الأساسية
المسألة 1 - إيجاد أساسات مشتركة
حل المعادلة:
عرض الحل المفصل
لاحظ أن الأعداد 27، 9، و 3 يمكن كتابتها كقوى للعدد 3 على النحو التالي:
باستخدام ما سبق وقاعدة الأسس السالبة $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$، نعيد كتابة المعادلة المعطاة:
نستخدم الآن القاعدة $(x^m)^n = x^{mn}$:
استخدم القاعدة $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$ لجمع الأسس في كل طرف:
بسط الأسس للحصول على:
نستخدم حقيقة أن الدالة الأسية هي دالة تقابلية (واحدة لواحد). إذا كان $3^m = 3^n$، فإن $m = n$. يمكننا مساواة الأسس:
حل المعادلة السابقة بالنسبة لـ $x$:
يُظهر الشكل أدناه تمثيل الطرف الأيسر للمعادلة المعطاة عندما يكون الطرف الأيمن مساوياً لصفر. نقطة التقاطع مع محور x هي تقريب للحل التحليلي.
المسألة 2 - الأسس الكسرية
أوجد حلول المعادلة:
عرض الحل المفصل
لاحظ أن $\sqrt{16^x} = (16^x)^{1/2} = 16^{(1/2)x}$ واستخدم ذلك لإعادة كتابة المعادلة المعطاة:
لاحظ أن $\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ و $16 = 2^4$. استخدمهما لإعادة كتابة المعادلة بالأساس 2:
استخدم القاعدة $(x^m)^n = x^{mn}$ للتبسيط:
بما أن الأساسات متطابقة، يمكننا مساواة الأسس:
أعد الكتابة على الصورة التربيعية القياسية وحل:
باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية، $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 8$. ينتج عن ذلك حلان:
المسألة 3 - التعويض باستخدام الأسس السالبة
ما هي حلول المعادلة:
عرض الحل المفصل
لتكن $u = 2^x$. هذا يعني أن $2^{-x} = \dfrac{1}{2^x} = \dfrac{1}{u}$. أعد كتابة المعادلة بدلالة $u$:
لا يمكن أن يساوي $u$ صفراً (لأن $2^x > 0$). اضرب جميع الحدود في $u$ وبسط:
حل المعادلة التربيعية بالنسبة لـ $u$ باستخدام القانون العام:
نحل الآن بالنسبة لـ $x$ باستخدام التعويض $u = 2^x$.
المعادلة الأولى: $2^x = 3 + \sqrt{15}$
المعادلة الثانية: $2^x = 3 - \sqrt{15}$. ليس لها حل نظراً لأن $3 - \sqrt{15}$ عدد سالب، بينما $2^x$ يجب أن تكون موجبة تماماً.
المسألة 4 - استخدام اللوغاريتمات لأساسات مختلفة
أوجد حلول المعادلة:
عرض الحل المفصل
خذ اللوغاريتم الطبيعي ($\ln$) لكلا طرفي المعادلة المعطاة:
استخدم قواعد اللوغاريتمات للتبسيط وإنزال الأسس:
فك الطرف الأيسر وجمع جميع الحدود التي تحتوي على $x$ في طرف واحد:
أخرج $x$ كعامل مشترك وحل:
المسألة 5 - بنية الجيب الزائدي
حل المعادلة:
عرض الحل المفصل
لتكن $u = e^x$، مما يعطي $e^{-x} = \dfrac{1}{u}$. عوض بذلك في المعادلة:
اضرب الطرفين في 2 وبسط:
اضرب المعادلة بأكملها في $u$ للتخلص من الكسر:
أوجد قيمة $u$ باستخدام القانون العام:
الآن أعد التعويض بـ $u = e^x$.
المعادلة الأولى: $e^x = 3 + \sqrt{10}$
المعادلة الثانية: $e^x = 3 - \sqrt{10}$. ليس لها حل نظراً لأن $3 - \sqrt{10} < 0$.
المسألة 6 - أساسات ليس لها عوامل مشتركة
ما هي حلول المعادلة:
عرض الحل المفصل
خذ اللوغاريتم الطبيعي ($\ln$) لكلا الطرفين:
استخدم قواعد اللوغاريتمات لجلب الأسس إلى المقدمة:
فك كلا طرفي المعادلة وجمع الحدود التي تحتوي على $x$:
المسألة 7 - الصورة التربيعية بالأساس 3
حل المعادلة بالنسبة لـ $x$:
عرض الحل المفصل
لاحظ أن $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$. أعد كتابة المعادلة المعطاة باستخدام ذلك وفك $3^{x+1}$ على صورة $3 \cdot 3^x$:
لتكن $u = 3^x$ وأعد كتابة المعادلة على صورة مقدّر تربيعي قياسي بدلالة $u$:
حل بالنسبة لـ $u$ بالتحليل:
هذا يعطي حلين لـ $u$: $u_1 = 2$ و $u_2 = 1$. الآن أعد التعويض بـ $3^x$.
المعادلة الأولى: $3^x = 2$
المعادلة الثانية: $3^x = 1$. الأس الوحيد الذي ينتج عنه 1 هو 0، إذن $x = 0$.
مسائل التحدي
هل أنت مستعد لاختبار قدراتك؟ جرب هذه المعادلات الأسية المتقدمة التي تتطلب معالجة جبرية دقيقة وقواعد منطقية.
التحدي 1 - المعادلة التربيعية الخفية بالأساس 2
حل المعادلة التالية جبرياً:
عرض الحل المفصل
1. توحيد الأساس:
عبر عن $4^x$ على صورة $(2^2)^x = (2^x)^2$. وفك $2^{x+2}$ باستخدام قواعد الأسس: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.
2. التعويض:
لتكن $u = 2^x$. تصبح المعادلة مقداراً تربيعياً مباشراً:
3. التحليل وحل المعادلة بالنسبة لـ $u$:
نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما $-32$ ومجموعهما $-4$. وهما $-8$ و $+4$.
هذا يعطينا $u = 8$ أو $u = -4$.
4. إيجاد قيمة $x$:
عوض بـ $2^x$ بدلاً من $u$.
- الحالة الأولى: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies \mathbf{x = 3}$
- الحالة الثانية: $2^x = -4$. ليس لها حل نظراً لأن $2^x$ يجب أن تكون موجبة تماماً.
الحل الوحيد هو $\mathbf{x = 3}$.
التحدي 2 - متغير في الأساس وفي الأس
أوجد جميع الحلول الحقيقية للمعادلة:
عرض الحل المفصل
بالنسبة لمعادلة على صورة $A^B = 1$، توجد ثلاثة شروط رياضية متميزة يتحقق فيها ذلك. سنستخدم جدولاً لفحص الحالات الثلاث بشكل منظم.
| شرط أن $A^B = 1$ | التطبيق على $x^{x^2 - 5x + 6} = 1$ |
|---|---|
| الحالة 1: الأساس يساوي 1 ($A = 1$، و $B$ يمكن أن يكون أي قيمة) |
اجعل الأساس مساوياً لـ 1: $x = 1$. (التحقق: $1^{(1-5+6)} = 1^2 = 1$. صحيح.) الحل: $x = 1$ |
| الحالة 2: الأس يساوي 0 ($B = 0$، و $A \neq 0$) |
اجعل الأس مساوياً لـ 0: $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. (التحقق من الأساس: لا يساوي أي أساس صفراً. صحيح.) الحلول: $x = 2, x = 3$ |
| الحالة 3: الأساس يساوي -1 ($A = -1$، ويجب أن يكون $B$ عدداً صحيحاً زوجياً) |
اجعل الأساس مساوياً لـ -1: $x = -1$. الآن تحقق مما إذا كان الأس زوجياً عندما $x = -1$: $B = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12$. بما أن 12 عدد زوجي، فإن $(-1)^{12} = 1$. صحيح. الحل: $x = -1$ |
مجموعة الحلول النهائية:
مجموعة الحلول الحقيقية الكاملة هي $\mathbf{x \in \{-1, 1, 2, 3\}}$.
التحدي 3 - قوى متداخلة للعدد 10
حل المعادلة الأسية التالية:
عرض الحل المفصل
1. تجميع الطرف الأيسر:
بما أن كلا العددين $2$ و $5$ مرفوعان لنفس الأس تماماً، يمكننا استخدام القاعدة $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ لجمعهما:
2. إنشاء أساس مشترك:
لاحظ أن $10000$ هي قوة للعدد 10. وتحديداً $10000 = 10^4$. عوض بذلك في الطرف الأيمن:
3. توزيع الأس:
استخدم قاعدة القوة $(x^m)^n = x^{mn}$:
4. المساواة والحل:
بما أن الأساسات متساوية، يجب أن تكون الأسس متساوية: