ضرب كثيرات الحدود: الأسئلة والحلول خطوة بخطوة

صُممت هذه الصفحة لمساعدة طلاب الصف التاسع على إتقان ضرب كثيرات الحدود. يتطلب ضرب كثيرات الحدود فهماً راسخاً لـ خاصية التوزيع (التي يُذكر غالباً باسم طريقة FOIL لذوات الحدين) و قواعد الأسس.

ستجد أدناه أسئلة تدريبية تتراوح من ضرب وحدات الحد البسيطة إلى نشر ذوات الحدين وثلاثيات الحدود المعقدة. حاول حل كل مسألة بمفردك، ثم افتح الحلول خطوة بخطوة للتحقق من عملك وفهم التفكير الكامن وراء كل خطوة جبرية.

أسئلة التدريب

  1. 1. اضرب كثيرات الحدود التالية

    1. \( (-2)(-2x) \)
    2. \( (x)(x + 1) \)
    3. \( -x^2(-x + 1) \)
    4. \( (-4x^3 - x)(2x - 1) \)
    5. \( (-4x^3 - y)(2x - y) \)
    6. \( (-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \)
    7. \( \left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة

    1. اضرب الثوابت، ثم ألحق بها المتغير:

      \[ (-2)(-2x) = 4x \]

    2. وزع \(x\) على كلا الحدين داخل القوسين:

      \[ \begin{aligned} (x)(x + 1) &= x(x) + x(1) \\ &= x^2 + x \end{aligned} \]

    3. وزع \(-x^2\):

      \[ \begin{aligned} -x^2(-x + 1) &= -x^2(-x) - x^2(1) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} \]

    4. استخدم خاصية التوزيع (طريقة FOIL) لذوات الحدين:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - x)(2x - 1) &= -4x^3(2x - 1) - x(2x - 1) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-1) - x(2x) - x(-1) \\ &= -8x^4 + 4x^3 - 2x^2 + x \end{aligned} \]

    5. وزع كل حد من ذات الحدين الأولى على الثانية:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - y)(2x - y) &= -4x^3(2x - y) - y(2x - y) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-y) - y(2x) - y(-y) \\ &= -8x^4 + 4x^3y - 2xy + y^2 \end{aligned} \]

    6. وزع كل من الحدود الثلاثة في ثلاثية الحدود الأولى على ثلاثية الحدود الثانية، ثم اجمع الحدود المتشابهة:

      \[ \begin{aligned} &(-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \\ &= -7x^2(2x^2 - x + 2) - 2x(2x^2 - x + 2) + 3(2x^2 - x + 2) \\ &= (-14x^4 + 7x^3 - 14x^2) + (-4x^3 + 2x^2 - 4x) + (6x^2 - 3x + 6) \\ &= -14x^4 + (7x^3 - 4x^3) + (-14x^2 + 2x^2 + 6x^2) + (-4x - 3x) + 6 \\ &= -14x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 7x + 6 \end{aligned} \]

    7. وزع الكسور بعناية:

      \[ \begin{aligned} &\left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2\left(-\dfrac{1}{2}x\right) - \dfrac{1}{3}x^2(9) + 4\left(-\dfrac{1}{2}x\right) + 4(9) \\ &= \dfrac{1}{6}x^3 - 3x^2 - 2x + 36 \end{aligned} \]

  2. 2. اضرب واجمع/اطرح لتكتب على شكل كثيرة حدود واحدة

    تذكر أن تتبع ترتيب العمليات: اضرب كثيرات الحدود أولاً، ثم اجمع أو اطرح الحدود المتشابهة.

    1. \( (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 \)
    2. \( -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) \)
    3. \( (-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة

    1. أولاً، انشر ذوات الحدين، ثم اجمع الحدود المتبقية:

      \[ \begin{aligned} (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 &= [2x(3x - 2) - 1(3x - 2)] + 3x - 9 \\ &= [6x^2 - 4x - 3x + 2] + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 7x + 2 + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 4x - 7 \end{aligned} \]

    2. وزع الإشارات السالبة واضرب ذوات الحدين. استخدم الأقواس لتجنب أخطاء الإشارات:

      \[ \begin{aligned} -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) &= -2x - 2 - [2x(x - 3) - 1(x - 3)] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 6x - x + 3] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 7x + 3] \\ &= -2x - 2 - 2x^2 + 7x - 3 \\ &= -2x^2 + 5x - 5 \end{aligned} \]

    3. انشر مجموعتي ذوات الحدين بشكل منفصل، ثم اجمع الحدود المتشابهة:

      \[ \begin{aligned} &(-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \\ &= [-3x(y - 3) - 2(y - 3)] + [x(y - 6) - 5(y - 6)] \\ &= [-3xy + 9x - 2y + 6] + [xy - 6x - 5y + 30] \\ &= (-3xy + xy) + (9x - 6x) + (-2y - 5y) + (6 + 30) \\ &= -2xy + 3x - 7y + 36 \end{aligned} \]

  3. 3. استخدم ضرب كثيرات الحدود لنشر ما يلي

    1. \( (x + 3y)^2 \)
    2. \( (2x - y)^2 \)
    3. \( (x - y)(x + y) \)
    4. \( (x - 3)^3 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة

    1. اكتب المربع كحاصل ضرب ذاتي حد متطابقين (أو استخدم قانون المربع الكامل):

      \[ \begin{aligned} (x + 3y)^2 &= (x + 3y)(x + 3y) \\ &= x(x + 3y) + 3y(x + 3y) \\ &= x^2 + 3xy + 3xy + 9y^2 \\ &= x^2 + 6xy + 9y^2 \end{aligned} \]

    2. انشر مربع ذات الحدين:

      \[ \begin{aligned} (2x - y)^2 &= (2x - y)(2x - y) \\ &= 2x(2x - y) - y(2x - y) \\ &= 4x^2 - 2xy - 2yx + y^2 \\ &= 4x^2 - 4xy + y^2 \end{aligned} \]

    3. هذا فرق بين مربعين:

      \[ \begin{aligned} (x - y)(x + y) &= x(x + y) - y(x + y) \\ &= x^2 + xy - yx - y^2 \\ &= x^2 - y^2 \end{aligned} \]

    4. بالنسبة للقوة التكعيبية، اضرب ثلاث مرات. قم بتجميع اثنين منهما أولاً:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)^3 &= (x - 3)(x - 3)(x - 3) \\ &= (x - 3)[x(x - 3) - 3(x - 3)] \\ &= (x - 3)[x^2 - 3x - 3x + 9] \\ &= (x - 3)(x^2 - 6x + 9) \end{aligned} \]

      الآن، اضرب ذات الحدين في ثلاثية الحدود الناتجة:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)(x^2 - 6x + 9) &= x(x^2 - 6x + 9) - 3(x^2 - 6x + 9) \\ &= (x^3 - 6x^2 + 9x) + (-3x^2 + 18x - 27) \\ &= x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \end{aligned} \]

المراجع وروابط مفيدة

الصفحة الرئيسية