本文介绍微分方程被广泛应用于对自然现象、工程系统以及许多其他情况进行建模的示例。
应用 1：指数增长 - 人口模型
设 \( P(t) \) 是随时间 \( t \) 增加的量，且其增长率正比于该量 \( P \)，关系如下：
\[ \frac{dP}{dt} = kP \]其中 \( \frac{dP}{dt} \) 是 \( P \) 的一阶导数，\( k > 0 \)，\( t \) 为时间。
上述一阶微分方程的解为：
\[ P(t) = A e^{kt} \]其中 \( A \) 是不等于 0 的常数。
如果在 \( t = 0 \) 时 \( P = P_0 \)，则：
\[ P_0 = A e^0 \]这得出 \( A = P_0 \)。该解的最终形式为：
假设 \( P_0 \) 为正，且由于 \( k \) 为正，\( P(t) \) 是一个递增的指数函数。\( \frac{dP}{dt} = kP \) 也被称为指数增长模型。
应用 2：指数衰减 - 放射性物质
设 \( M(t) \) 是随时间 \( t \) 减少的某种物质的量，且其减少率正比于该量 \( M \)，关系如下：
\[ \frac{dM}{dt} = -kM \]其中 \( \frac{dM}{dt} \) 是 \( M \) 的一阶导数，\( k > 0 \)，\( t \) 为时间。
求解上述一阶微分方程可得：
\[ M(t) = A e^{-kt} \]其中 \( A \) 是非零常数。
如果我们假设在 \( t = 0 \) 时 \( M = M_0 \)，则：
\[ M_0 = A e^0 \]这得出 \( A = M_0 \)。该解可以写为：
假设 \( M_0 \) 为正，且由于 \( k \) 为正，\( M(t) \) 是一个递减的指数函数。\( \frac{dM}{dt} = -kM \) 也被称为指数衰减模型。
应用 3：落体运动
一个物体在 \( t = 0 \) 时从一定高度落下。如果 \( h(t) \) 是物体在时间 \( t \) 的高度，\( a(t) \) 是加速度，\( v(t) \) 是速度，则 \( a \)、\( v \) 和 \( h \) 之间的关系如下：
\[ a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt} \]对于自由落体运动，\( a(t) \) 是常数，等于 \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \)。
结合上述微分方程，我们可以轻松推导出以下方程：
\[ \frac{d^2h}{dt^2} = g \]对上述方程两边积分可得：
\[ \frac{dh}{dt} = gt + v_0 \]再积分一次可得：
上述方程描述了从初始高度 \( h_0 \) 以初始速度 \( v_0 \) 下落的物体的高度随时间变化的函数。
应用 4：牛顿冷却定律
这是一个用数学方法描述给定环境中物体温度变化的模型。该定律指出，温度随时间的变化率正比于物体温度 \( T \) 与周围环境温度 \( T_e \) 之间的差值：
\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_e) \]令 \( x = T - T_e \)，从而 \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \)。
利用上述变量代换，微分方程变为：
\[ \frac{dx}{dt} = -kx \]上述微分方程的解为：
\[ x = A e^{-kt} \]将 \( x \) 代换为 \( T - T_e \)：
\[ T - T_e = A e^{-kt} \]假设在 \( t = 0 \) 时温度 \( T = T_0 \)：
\[ T_0 - T_e = A e^0 \]这得出 \( A = T_0 - T_e \)。
\( T(t) \) 的最终表达式为：
最后一个表达式展示了物体的温度 \( T \) 如何随时间变化。
应用 5：RL 电路
让我们考虑上面显示的 RL（电阻 R 和电感 L）电路。在 \( t = 0 \) 时，开关闭合，电流通过电路。电学定律指出，跨越电阻 \( R \) 的电压等于 \( Ri \)，跨越电感 \( L \) 的电压由 \( L \frac{di}{dt} \) 给出（其中 \( i \) 是电流）。另一个定律给出了电路中所有电压关系的方程，如下所示：
\[ L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{其中 } E \text{ 是恒定电压} \]让我们求解上述微分方程，它可以写为：
\[ L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1 \]这可以写成：
\[ -\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt \]两边积分：
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{ 为积分常数} \]通过在 \( t = 0 \)（开关闭合时）设 \( i = 0 \) 来求常数 \( c \)，得到：
\[ c = -\frac{L}{R} \ln(E) \]将 \( c \) 代入解中：
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E) \]这可以写为：
\[ \frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t \]转换为指数形式：
\[ \frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)} \]求解 \( i \) 可得：
该电路的起始模型是一个微分方程，解出后给出了电路中电流作为时间函数的表达式。