本教程解释了如何确定微分方程的阶数和线性，并配有例题与练习。另请参见微分方程简介。
微分方程的阶数
微分方程的阶数定义为方程中出现的最高阶导数。
例题 1：确定阶数
指出下列每个微分方程的阶数：
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x y^2 = 2x \\ 2)&\ \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + y = 0 \\ 3)&\ 10y'' - y = e^x \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - x\frac{dy}{dx} + (1-x)y = \sin x \end{aligned} \]解答：
- 1. 最高导数是 \(dy/dx\) → 一阶。
- 2. 最高导数是 \(d^2y/dx^2\) → 二阶。
- 3. 最高导数是 \(y''\) → 二阶。
- 4. 最高导数是 \(d^3y/dx^3\) → 三阶。
微分方程的线性
如果一个微分方程满足以下条件，则称其为线性的：
- \(y\) 及其导数仅以一次方出现。
- 不存在 \(y\) 与自身或其导数的乘积。
- 不存在 \(y\) 的函数（如 \(\sin y\)、\(\ln y\) 或 \(y^2\)）。
- 系数仅取决于 \(x\)。
例题 2：判断线性
判断哪些方程是线性的：
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x^2y = x \\ 2)&\ \frac{1}{x}\frac{d^2y}{dx^2} - y^3 = 3x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \ln y = 0 \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - 2\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 2\sin x \end{aligned} \]解答：
- 1. 线性。
- 2. 非线性（包含 \(y^3\)）。
- 3. 非线性（包含 \(\ln y\)）。
- 4. 线性。
标准形式
一阶线性方程
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]二阶线性方程
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]练习题与答案
练习题与解答
确定每个方程的阶数与线性：
\[ \begin{aligned} 1)&\ \left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^4 + 2\frac{dy}{dx} = \sin x \\ 2)&\ \frac{dy}{dx} - 2xy = x^2 - x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \sin y = -x \\ 4)&\ \frac{d^2y}{dx^2} = 2xy \end{aligned} \]答案：
- 1. 三阶，非线性。
- 2. 一阶，线性。
- 3. 一阶，非线性。
- 4. 二阶，线性。