本教程解释了如何求解形如下列形式的简单一阶微分方程：
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]这些方程通过对两边关于 \( x \) 进行积分来求解。常数 \( C \) 表示积分常数。
经典例题
分步解答例题
例题 1
求解：
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]解答：
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \] \[ y = x^2 + x + C \]您可以通过求导验证该解是否满足原方程。
例题 2
求解：
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]解答：
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \] \[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \]令 \( u = 2x \)，则 \( du = 2dx \implies dx = \frac{1}{2}du \)：
\[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \] \[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]例题 3
求解：
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]解答：
两边同乘以 \( e^x \)，简化并重写为：
\[ y' = -e^{3x} \]积分：
\[ y = \int -e^{3x}\,dx \]令 \( u = 3x \)，\( du = 3dx \)：
\[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \] \[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]练习题与答案
练习题与解答
求解下列方程：
- \( 2\dfrac{dy}{dx} = 6x \)
- \( y'\cos(x) = \sin(2x) \)
- \( y'e^x = e^{3x} \)
答案：
- \( y = \dfrac{3}{2}x^2 + C \)
- \( y = -2\cos(x) + C \)
- \( y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \)