本教程解释了当特征（辅助）方程具有两个互不相同的实根时，如何求解具有常系数的齐次二阶线性微分方程。内容包含分步例题与练习。
一般方法
考虑微分方程：
\[ y'' + ay' + by = 0 \]我们建立特征（辅助）方程：
\[ k^2 + ak + b = 0 \]如果该二次方程有两个互不相同的实根 \( k_1 \neq k_2 \)，则通解为：
通解公式：
\[ y = Ae^{k_1 x} + Be^{k_2 x} \]
其中 \( A \) 和 \( B \) 是任意常数。
经典例题
分步解答例题
例题 1
求解：
\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]解答：
辅助方程为：
\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]因式分解：
\[ (k + 3)(k - 1) = 0 \]根：
\[ k_1 = -3, \quad k_2 = 1 \]通解：
\[ y = Ae^{-3x} + Be^{x} \]例题 2（带初始条件）
求解：
\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]满足初始条件：
\[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \]解答：
辅助方程：
\[ k^2 + 3k - 10 = 0 \implies (k + 5)(k - 2) = 0 \]根：
\[ k_1 = 2, \quad k_2 = -5 \]通解：
\[ y = Ae^{2x} + Be^{-5x} \]代入初始条件以求出 \( A \) 和 \( B \)：
1) \( y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 1 \)
计算导数 \( y'(x) = 2Ae^{2x} - 5Be^{-5x} \)：
2) \( y'(0) = 2A - 5B = 0 \)
求解方程组得到：
\[ A = \frac{5}{7}, \quad B = \frac{2}{7} \]最终解：
\[ y = \frac{5}{7}e^{2x} + \frac{2}{7}e^{-5x} \]练习题与答案
练习题与解答
求解下列微分方程：
- \( y'' + 5y' - 6y = 0 \)
- \( y'' + y' - 2y = 0 \)，且 \( y(0) = 2 \)，\( y'(0) = 0 \)
答案：
- \( y = Ae^{x} + Be^{-6x} \)
- \( y = \dfrac{4}{3}e^{x} + \dfrac{2}{3}e^{-2x} \)