本教程解释了当辅助方程具有两个相等的实数解时，如何求解二阶微分方程。内容包含附带详细解答的分步例题。
一般方法
考虑具有常系数的二阶微分方程：
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]其辅助方程为：
\[ k^2 + b k + c = 0 \]如果判别式满足：
\[ b^2 - 4c = 0 \]则该方程具有两个相等的实数解，由下式给出：
\[ k = -\frac{b}{2} \]在这种情况下，该微分方程的通解为：
通解公式：
\[ y(x) = A e^{kx} + B x e^{kx} \]
其中 \( A \) 和 \( B \) 是由初始条件决定的常数。
验证
令 \( y = x e^{kx} \)。则其导数为：
\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \]代入微分方程中：
\[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \]提取公因式并简化：
\[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \]由于当 \( k = -\frac{b}{2} \) 时，\( k^2 + b k + c = 0 \) 且 \( 2k + b = 0 \)，因此该解满足微分方程。
例题与解答
经典例题：重根与初值问题
例题 1
求解：
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \]解答：
辅助方程：
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \implies (k + 1)^2 = 0 \implies k = -1 \]通解：
\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \]其中 \( A \) 和 \( B \) 是常数。您可以通过代入验证这满足微分方程。
例题 2
在初始条件 \( y(0) = 4 \) 和 \( y'(0) = 0 \) 下求解：
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \]解答：
辅助方程：
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \implies (k - 2)^2 = 0 \implies k = 2 \]通解：
\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]应用初始条件：
\[ y(0) = A = 4 \]求导以找出 \( y'(x) \)：
\[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \]利用 \( y'(0) = 0 \)：
\[ y'(0) = 2A + B = 0 \implies 2(4) + B = 0 \implies B = -8 \]最终解：
\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]