本教程解释了如何求解辅助方程具有两个互不相同的复共轭根的二阶微分方程。内容包含分步例题与练习题供读者练习。
简介与通解
考虑二阶微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]其辅助方程为：
\[ k^2 + b k + c = 0 \]如果判别式满足 \( b^2 - 4c < 0 \)，则该二次方程具有两个复共轭根：
\[ k_1 = r + ti, \quad k_2 = r - ti \]该微分方程的通解为：
其中 \( A \) 和 \( B \) 是任意常数。
例题与解答
经典例题
例题 1
求解微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]解答：
辅助方程为：
\[ k^2 + k + 2 = 0 \]求解得到两个复共轭根：
\[ k_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i, \quad k_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} i \]因此，\( r = -\frac{1}{2} \) 且 \( t = \frac{\sqrt{7}}{2} \)。通解为：
\[ y(x) = e^{-x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) \right) \]例题 2
求解在初始条件 \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \) 下的微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{3} \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \]解答：
辅助方程：
\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]复数根：
\[ k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i, \quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i \]通解：
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]应用初始条件：
\( y(0) = 1 \implies A = 1 \)
求导 \( y'(x) \)：
\( y'(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2}x\right) \right) + e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( -\frac{3}{2} A \sin\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{3}{2} B \cos\left(\frac{3}{2}x\right) \right) \)
在 \( x = 0 \) 时：\( y'(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2} A + \frac{3}{2} B = 0 \implies B = \frac{\sqrt{3}}{3} A \)。
由于 \( A = 1 \)，则 \( B = \frac{\sqrt{3}}{3} \)。
最终解：
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]练习题与答案
练习题与解答
求解下列微分方程：
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \)
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \)，且 \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \)
答案：
- \( y(x) = e^{x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right) \)
- \( y(x) = \cos x \)