微积分中关于求包含绝对值函数的导数的教程（微分）。
同时包含关于如何求绝对值函数的导数？的视频。
绝对值函数的导数
设 \( f(x) = |u(x)| \)。注意 \( |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \)。
使用微分的链式法则来求 \( f = |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \) 的导数：
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \]因此：
经典例题与解答
分步解答例题
例题 1
若 \( f(x) \) 由下式给出，求其一阶导数 \( f'(x) \)：
\[ f(x) = |x - 1| \]例题 1 解答：
令 \( u = x - 1 \)，从而可以将 \( f(x) \) 写为 \( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \)。
使用链式法则：
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \left(\dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}}\right) \dfrac{du}{dx} = u \cdot \dfrac{u'}{|u|} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \]注意以下几点：
- 若 \( x > 1 \)，则 \( |x - 1| = x - 1 \) 且 \( f'(x) = 1 \)。
- 若 \( x < 1 \)，则 \( |x - 1| = -(x - 1) \) 且 \( f'(x) = -1 \)。
- 在 \( x = 1 \) 处 \( f'(x) \) 不存在。
\( f \) 及其导数 \( f' \) 的图象表明，在 \( x = 1 \) 处无法为 \( f \) 的图象绘制唯一的切线，这解释了为什么导数在 \( x = 1 \) 处不存在。
例题 2
求由下式给出的 \( f \) 的一阶导数：
\[ f(x) = -x + 2 + |-x + 2| \]例题 2 解答：
\( f(x) \) 由两个函数的和构成。令 \( u = -x + 2 \)，从而：
\[ f'(x) = -1 + u' \dfrac{u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \]化简：
\[ f'(x) = -1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \]注意以下几点：
- 若 \( x < 2 \)，\( |-x + 2| = -x + 2 \) 且 \( f'(x) = -2 \)。
- 若 \( x > 2 \)，\( |-x + 2| = -(-x + 2) \) 且 \( f'(x) = 0 \)。
- 在 \( x = 2 \) 处 \( f'(x) \) 不存在。
作为练习，绘制 \( f \) 的图象，并解释上面得到的关于 \( f'(x) \) 的结果。
例题 3
求由下式给出的 \( f \) 的一阶导数：
\[ f(x) = \dfrac{x+1}{|x^2 - 1|} \]例题 3 解答：
利用商法则和绝对值导数公式：
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot |x^2 - 1| - (x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \]将分式拆分为两项，并化简左侧的分式：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \]化简右侧的分式：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]将两个分式通分（化为相同的分母）：
\[ f'(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]将两个分式相加并化简：
\[ f'(x) = -\dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \]练习题与答案
练习题与解答
求下列函数的一阶导数：
提示：在下面的某些问题中，你可能需要多次应用链式法则。
- \( f(x) = |2x - 5| \)
- \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
- \( h(x) = \left|\dfrac{x+1}{x-3}\right| \)
- \( i(x) = |-2x^2 + 2x - 1| \)
- \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
- \( k(x) = |\ln(-3x+1)| \)
- \( l(x) = \sin |2x| \)
上述练习题的答案：
- \( f'(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)
- \( g'(x) = 2(x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)
- \( h'(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)
- \( i'(x) = \dfrac{(-2x^2+2x-1)(-4x+2)}{|-2x^2+2x-1|} \)
- \( j'(x) = \dfrac{2e^{|2x-1|}(2x-1)}{|2x-1|} \)
- \( k'(x) = -\dfrac{3\ln(-3x+1)}{|\ln(-3x+1)|(-3x+1)} \)
- \( l'(x) = \dfrac{2x\cos(2|x|)}{|x|} \)