什么是微积分中的链式法则？

链式法则用于计算复合函数导数的公式。如果 f(x) = g(h(x))，则导数公式为 f'(x) = (df/du) * (du/dx)，其中 u = h(x)。

微积分中的链式法则—

介绍了微积分中函数的微分链式法则，并配有多个例题、详细解答和评注。同时包含带答案的练习题。

链式法则

设 \( f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)) \) 为两个函数的复合函数。设 \( u = h(x) \)。利用此代换，函数 \( f \) 可以写为：

\[ f(x) = g(u) \]

根据微分链式法则 [1]，\( f \) 对 \( x \) 的导数 \( f' \) 由下式给出：

链式法则公式： \[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \]

使用链式法则的例题

下面我们给出几个应用链式法则的例题。

分步解答例题

例题 1

已知下列函数，求导数 \( f'(x) \)：

\[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]

例题 1 解答：

令 \( u = 5x - 2 \) 且 \( f(u) = 4 \cos u \)，因此：

\[ \dfrac{du}{dx} = 5 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = -4 \sin u \]

我们现在使用链式法则：

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = -4 \sin(u) \cdot 5 \]

将 \( u = 5x - 2 \) 代回表达式中：

\[ f'(x) = -20 \sin (5x - 2) \]

例题 2

已知下列函数，求导数 \( f'(x) \)：

\[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]

例题 2 解答：

令 \( u = x^3 - 4x + 5 \) 且 \( f(u) = u^4 \)，从而得出：

\[ \dfrac{du}{dx} = 3x^2 - 4 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = 4u^3 \]

应用链式法则：

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = (4u^3)(3x^2 - 4) \]

将 \( u = x^3 - 4x + 5 \) 代回：

\[ f'(x) = 4(x^3 - 4x + 5)^3 (3x^2 - 4) \]

例题 3

已知下列函数，求 \( f'(x) \)：

\[ f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 1} \]

例题 3 解答：

令 \( u = x^2 + 2x - 1 \) 且 \( f(u) = \sqrt{u} \)，从而得出：

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \]

使用链式法则：

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} (2x + 2) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

在分子和分母中提取公因式 2 并化简：

\[ f'(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

例题 4

求由下式给出的 \( f \) 的一阶导数：

\[ f(x) = \sin^2 (2x + 3) \]

例题 4 解答：

令 \( u = \sin (2x + 3) \) 且 \( f(u) = u^2 \)，从而得出：

\[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = 2u \]

应用链式法则得出：

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2u \cdot 2 \cos(2x + 3) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \]

使用三角恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) 进行化简：

\[ f'(x) = 2 \sin (4x + 6) \]

例题 5

求由下式给出的 \( f \) 的一阶导数：

\[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]

例题 5 解答：

令 \( u = x^2 + x \) 且 \( f(u) = \ln u \)，因此：

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \]

应用链式法则并代回 \( u = x^2 + x \)：

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2x + 1) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x} \]

链式法则练习题

练习题与答案

使用链式法则求下列各个函数的一阶导数：

\( f(x) = \cos (3x - 3) \)
\( l(x) = (3x^2 - 3x + 8)^4 \)
\( m(x) = \sin \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
\( t(x) = \sqrt{3x^2 - 3x + 6} \)
\( r(x) = \sin^2 (4x + 20) \)

上述练习题的答案

\( f'(x) = -3 \sin (3x - 3) \)
\( l'(x) = 12(2x - 1)(3x^2 - 3x + 8)^3 \)（注：从 \(4(3x^2-3x+8)^3(6x-3)\) 中提取公因式得 \(12(2x-1)\)）
\( m'(x) = -\dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
\( t'(x) = \dfrac{6x - 3}{2\sqrt{3x^2 - 3x + 6}} \)
\( r'(x) = 8\sin(4x+20)\cos(4x+20) = 4\sin(8x+40) \)