三角函数的导数公式
1. \( \sin x \) 的导数：
\[ \dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
2. \( \cos x \) 的导数：
\[ \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
3. \( \tan x \) 的导数：
\[ \dfrac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]
4. \( \cot x \) 的导数：
\[ \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
5. \( \sec x \) 的导数：
\[ \dfrac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
6. \( \csc x \) 的导数：
\[ \dfrac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]
应用三角函数导数的例题
例题 1
求 \( f(x) = x \sin x \) 的一阶导数
例题 1 解答
令 \( g(x) = x \) 且 \( h(x) = \sin x \)。函数 \( f \) 可以看作函数 \( g \) 和 \( h \) 的乘积：\( f(x) = g(x)h(x) \)。因此，我们使用乘积法则 \( f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \) 对函数 \( f \) 求导如下：
\[ f'(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]例题 2
求下列函数的一阶导数：
\[ f(x) = \tan x + \sec x \]例题 2 解答
令 \( g(x) = \tan x \) 且 \( h(x) = \sec x \)。函数 \( f \) 可以看作函数 \( g \) 和 \( h \) 的和：\( f(x) = g(x) + h(x) \)。因此，我们使用和法则 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \) 对函数 \( f \) 求导如下：
\[ f'(x) = \sec^2 x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]例题 3
求下列函数的一阶导数：
\[ f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \]例题 3 解答
令 \( g(x) = \sin x \) 且 \( h(x) = 1 + \cos x \)。函数 \( f \) 可以看作函数 \( g \) 和 \( h \) 的商：\( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \)。因此，我们使用商法则：
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]我们分别求出各自的导数：
\[ g'(x) = \cos x \] \[ h'(x) = -\sin x \]代入商法则公式中：
\[ f'(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \] \[ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} \]利用三角恒等式 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) 进行化简：
\[ f'(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]