导数的定义
利用导数的定义来对函数进行微分。本教程结合差商一起使用效果最佳。
函数 \( f \) 的导数 \( f' \) 定义为：
当该极限存在时。因此，要根据定义求导数，我们需要求当 \( h \) 趋近于零时差商的极限。
详细解答例题
例题 1
利用导数的定义求由下式定义的函数 \( f \) 的导数：
\[ f(x) = mx + b \]其中 \( m \) 和 \( b \) 是常数。
例题 1 解答
我们首先需要计算差商：
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h) + b - (mx + b)}{h} \]化简：
\[ = \dfrac{mh}{h} = m \]导数 \( f' \) 由 \( m \)（即常数）当 \( h \to 0 \) 时的极限给出。因此：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} m = m \]线性函数 \( f(x) = mx + b \) 的导数等于其图象（一条直线）的斜率 \( m \)。
例题 2
利用定义求下列函数的导数：
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]例题 2 解答
我们首先求差商：
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]展开分子中的表达式并合并同类项：
\[ = \dfrac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]化简：
\[ = \dfrac{2axh + bh + ah^2}{h} = 2ax + b + ah \]函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的导数由差商的极限给出。因此：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} (2ax + b + ah) = 2ax + b \]例题 3
利用定义求由下式给出的函数 \( f \) 的导数：
\[ f(x) = \sin x \]例题 3 解答
我们首先计算差商：
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]利用三角公式将分子中的差 \( \sin(x + h) - \sin x \) 转化为乘积：
\[ \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \]将上述差商重写为：
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]导数由差商的极限给出。因此：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]利用两个函数乘积的极限法则写为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]上述乘积中的极限分别为：
\[ \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) = \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = \cos x \]以及
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(t)}{t} = 1 \]因此 \( f(x) = \sin x \) 的导数是：
\[ f'(x) = \cos x \times 1 = \cos x \]例题 4
利用定义求导数：
\[ f(x) = \sqrt{x} \]例题 4 解答
差商由下式给出：
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \]分子和分母同乘以 \( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \)，展开、合并同类项并化简：
\[ = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \dfrac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{(\sqrt{x+h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \] \[ = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数由差商的极限给出。因此：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]例题 5
利用定义求导数：
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]例题 5 解答
差商由下式给出：
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \]将分子中的两个有理式通分并重写：
\[ = \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \] \[ = \dfrac{-h}{x(x+h)h} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \]函数 \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) 的导数由差商的极限给出。因此：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2} \]