反三角函数导数的证明与公式
1. \( y = \arcsin(x) \) 的导数
设 \( y = \arcsin(x) \)，可以写为 \( x = \sin(y) \)。
对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d(\sin(y))}{dx} \implies 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]利用三角恒等式 \( \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \)，我们得到：
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]2. \( \arccos(x) \) 的导数
设 \( y = \arccos(x) \)，可以写为 \( x = \cos(y) \)。
对两边关于 \( x \) 求导：
\[ 1 = -\sin(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sin(y)} \]由于 \( \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \)，我们得到：
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]3. \( \arctan(x) \) 的导数
设 \( y = \arctan(x) \)，可以写为 \( x = \tan(y) \)。
对两边关于 \( x \) 求导：
\[ 1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y)} = \cos^2(y) \]利用恒等式 \( \cos^2(y) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \)，我们得到：
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}} \]4. \( \text{arccot}(x) \) 的导数
设 \( y = \text{arccot}(x) \)，可以写为 \( x = \cot(y) \)。
对两边关于 \( x \) 求导：
\[ 1 = -\csc^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc^2(y)} = -\sin^2(y) \]由于 \( \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \)，我们得到：
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{1 + x^2}} \]5. \( \text{arcsec}(x) \) 的导数
设 \( y = \text{arcsec}(x) \)，可以写为 \( x = \sec(y) \)。
对两边关于 \( x \) 求导：
\[ 1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y)} \]利用 \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \)，我们得到：
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]6. \( \text{arccsc}(x) \) 的导数
设 \( y = \text{arccsc}(x) \)，可以写为 \( x = \csc(y) \)。
对两边关于 \( x \) 求导：
\[ 1 = -\csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc(y) \cot(y)} \]利用 \( \cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \)，我们得到：
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]经典例题与解答
例题 1
求下列函数的一阶导数：
\[ f(x) = x \arcsin x \]例题 1 解答
令 \( h(x) = x \) 且 \( g(x) = \arcsin x \)。函数 \( f \) 可以看作函数 \( h \) 和 \( g \) 的乘积：\( f(x) = h(x)g(x) \)。
使用求导的乘积法则：\( f'(x) = h(x)g'(x) + g(x)h'(x) \)：
\[ f'(x) = x \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) + \arcsin x \cdot 1 \] \[ = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \]例题 2
求下列函数的一阶导数：
\[ f(x) = \arctan x + x^2 \]例题 2 解答
令 \( g(x) = \arctan x \) 且 \( h(x) = x^2 \)。函数 \( f \) 可以看作函数 \( g \) 和 \( h \) 的和：\( f(x) = g(x) + h(x) \)。因此我们使用和法则 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \] \[ = \dfrac{1 + 2x(1 + x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \]例题 3
求下列函数的一阶导数：
\[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]例题 3 解答
令 \( u(x) = 2x + 2 \)，因此函数 \( f \) 是复合函数 \( f(x) = \arcsin(u(x)) \)。使用链式法则 \( f'(x) = \dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \)：
\[ f'(x) = 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]代入 \( u = 2x + 2 \)：
\[ = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \]