反函数导数公式（定理）
设 \( f \) 是一个函数，\( f^{-1} \) 是其反函数。反函数的基本性质之一是：
\[ f(f^{-1}(x)) = x \]设 \( y = f^{-1}(x) \)，从而有：
\[ f(y) = x \]在左侧使用链式法则对两边求导：
\[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \]解出 \( \dfrac{dy}{dx} \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{df}{dy}} \]这也可以写为：
其中 \( f' \) 是 \( f \) 的一阶导数。
详细解答例题
例题 1
求由下式给出的函数 \( f \) 的反函数的导数：
\[ f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \]例题 1 解答（点击查看方法）
我们提供两种方法来回答上述问题。第一种方法是先计算反函数，然后求其导数。第二种方法是使用上面推导出的公式。
方法一：显式求反函数
第一种方法包括寻找函数 \( f \) 的反函数并对其求导。为了求 \( f \) 的反函数，我们首先将其写为方程：
\[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \]解出 \( x \)：
\[ x = 2y + 2 \]互换 \( x \) 和 \( y \) 得到反函数：
\[ y = f^{-1}(x) = 2x + 2 \]反函数的导数为：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = 2 \]方法二：使用反函数定理公式
已知 \( f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \)，因此：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]在公式 \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \) 中将 \( f' \) 替换为 \( \dfrac{1}{2} \)：
\[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]注意：只有在我们能够显式求出反函数时，才能使用第一种方法。
例题 2
求导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)，其中 \( y = \arcsin x \)。
例题 2 解答（点击查看解答）
\( \arcsin x \) 是 \( \sin x \) 的反函数，因此：
\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]给定 \( y = \arcsin x \)。对两边取正弦：
\[ \sin y = \sin(\arcsin x) \]利用 (I) 式化简：
\[ \sin y = x \]对两边关于 \( x \) 求导，左侧使用链式法则：
\[ \dfrac{dy}{dx} \cos y = 1 \]解出 \( \dfrac{dy}{dx} \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]代入 \( y = \arcsin x \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)} \qquad (II) \]利用三角恒等式 \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \) 化简 \( \cos(\arcsin x) \)：
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)} \]利用反函数的性质 \( \sin(\arcsin x) = x \) 化简：
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} \]代回 (II) 式得到最终答案：
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin x)}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]注意：上述结果也可以使用定理公式得出，但在这里我们展示了如何在不记住公式的情况下求反函数的导数。
练习题
练习题与答案
求下列每个函数反函数的导数：
- \( f(x) = 3x - 4 \)
- \( g(x) = \arccos x \)
- \( h(x) = \arctan x \)
上述练习题的答案
- \( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)
- \( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \)