任意底数指数函数的导数
\( f(x) = b^{x} \) 的导数由下式给出：
一般指数函数导数公式：
\[ f'(x) = b^{x} \ln b \]
注意：如果 \( f(x) = e^{x} \)，则 \( f'(x) = e^{x} \)。
经典例题与解答
例题 1
求 \( f(x) = 2^{x} \) 的导数
例题 1 解答
应用上述公式可得：
\[ f'(x) = 2^{x} \ln 2 \]Example 2
求 \( f(x) = 3^{x} + 3x^{2} \) 的导数
例题 2 解答
令 \( g(x) = 3^{x} \) 且 \( h(x) = 3x^{2} \)。函数 \( f \) 是函数 \( g \) 和 \( h \) 的和：\( f(x) = g(x) + h(x) \)。
使用和法则 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \) 求函数 \( f \) 的导数：
\[ f'(x) = 3^{x} \ln 3 + 6x \]例题 3
求 \( f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + x} \) 的导数
例题 3 解答
令 \( g(x) = e^{x} \) 且 \( h(x) = 1 + x \)。函数 \( f \) 是函数 \( g \) 和 \( h \) 的商：\( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \)。因此我们使用商法则：
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]分别求出各自的导数：
\[ g'(x) = e^{x} \] \[ h'(x) = 1 \]代入商法则公式中：
\[ f'(x) = \dfrac{(1 + x)(e^{x}) - (e^{x})(1)}{(1 + x)^{2}} \] \[ = \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \]例题 4
求 \( f(x) = e^{2x + 1} \) 的导数
例题 4 解答
令 \( u = 2x + 1 \) 且 \( y = e^{u} \)。使用链式法则求函数 \( f \) 的导数：
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]由于 \( \dfrac{dy}{du} = e^{u} \) 且 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \)：
\[ f'(x) = 2e^{2x + 1} \]练习题
求下列每个函数的导数：
- \( f(x) = e^{x} 2^{x} \)
- \( g(x) = 3^{x} - 3x^{3} \)
- \( h(x) = \dfrac{e^{x}}{2x - 3} \)
- \( j(x) = e^{(x^{2} + 2)} \)
上述练习题的解答
- \( f'(x) = e^{x} 2^{x} (\ln 2 + 1) \)
- \( g'(x) = 3^{x} \ln 3 - 9x^{2} \)
- \( h'(x) = \dfrac{e^{x}(2x - 5)}{(2x - 3)^{2}} \)
- \( j'(x) = 2x e^{(x^{2} + 2)} \)