介绍了双曲函数导数的公式以及带详细解答的例题。有关双曲函数的定义和图象，请参阅双曲函数图象。
双曲函数及其导数表
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| \( f(x) = \sinh x \) | \( f'(x) = \cosh x \) |
| \( f(x) = \cosh x \) | \( f'(x) = \sinh x \) |
| \( f(x) = \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} \) | \( f'(x) = \operatorname{sech}^2 x \) |
| \( f(x) = \coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch}^2 x \) |
| \( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch} x \coth x \) |
| \( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{sech} x \tanh x \) |
经典例题与解答
例题 1
求 \( f(x) = \sinh(x^2) \) 的导数
例题 1 解答
令 \( u = x^2 \) 且 \( y = \sinh u \)。使用链式法则求给定函数 \( f \) 的导数：
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]由于 \( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \)（见上方公式）且 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)：
\[ f'(x) = 2x \cosh u \]代回 \( u = x^2 \)：
\[ f'(x) = 2x \cosh(x^2) \]例题 2
求 \( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \) 的导数
例题 2 解答
令 \( g(x) = 2 \sinh x \) 且 \( h(x) = 4 \cosh x \)。函数 \( f \) 是函数 \( g \) 和 \( h \) 的和：\( f(x) = g(x) + h(x) \)。使用和法则 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)：
\[ f'(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]例题 3
求 \( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh(x^2)} \) 的导数
例题 3 解答
令 \( g(x) = \cosh x \) 且 \( h(x) = \sinh(x^2) \)。函数 \( f \) 是函数 \( g \) 和 \( h \) 的商：\( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \)。因此我们使用商法则：
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]分别求出各自的导数：
\[ g'(x) = \sinh x \] \[ h'(x) = 2x \cosh(x^2) \quad \text{（见上方例题 1）} \]代入商法则公式中：
\[ f'(x) = \dfrac{(\sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh x)(2x \cosh(x^2))}{(\sinh(x^2))^2} \]例题 4
求 \( f(x) = (\sinh x)^2 \) 的导数
例题 4 解答
令 \( u = \sinh x \) 且 \( y = u^2 \)。使用链式法则：
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]由于 \( \dfrac{dy}{du} = 2u \) 且 \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \)：
\[ f'(x) = 2u \cosh x \]代回 \( u = \sinh x \)：
\[ f'(x) = 2 \sinh x \cosh x \]练习题
求下列每个函数的导数：
- \( f(x) = \sinh(x^3) \)
- \( g(x) = -\sinh x + 4 \cosh(x + 2) \)
- \( h(x) = \dfrac{\cosh(x^2)}{\sinh x} \)
- \( j(x) = -(\cosh x)^2 \)
上述练习题的解答
- \( f'(x) = (3x^2) \cosh(x^3) \)
- \( g'(x) = -\cosh x + 4 \sinh(x + 2) \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2x \sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh(x^2))(\cosh x)}{(\sinh x)^2} \)
- \( j'(x) = -2(\cosh x)(\sinh x) \)