任意底数对数函数的一阶导数
\( f(x) = \log_b x \) 的一阶导数由下式给出：
一般对数函数导数公式：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln b} \]
注意：如果 \( f(x) = \ln x \)，则 \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \)。
经典例题与解答
例题 1
求 \( f(x) = \log_3 x \) 的导数
例题 1 解答
应用上述公式可得：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]例题 2
求 \( f(x) = \ln x + 6x^2 \) 的导数
例题 2 解答
令 \( g(x) = \ln x \) 且 \( h(x) = 6x^2 \)。函数 \( f \) 是函数 \( g \) 和 \( h \) 的和：\( f(x) = g(x) + h(x) \)。使用和法则 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \) 求函数 \( f \) 的导数：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]例题 3
求 \( f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \) 的导数
例题 3 解答
令 \( g(x) = \log_3 x \) 且 \( h(x) = 1 - x \)。函数 \( f \) 是函数 \( g \) 和 \( h \) 的商：\( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \)。因此我们使用商法则：
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]分别求出各自的导数：
\[ g'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \] \[ h'(x) = -1 \]代入商法则公式中：
\[ f'(x) = \dfrac{(1 - x)\left(\dfrac{1}{x \ln 3}\right) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]例题 4
求 \( f(x) = \ln(-4x + 1) \) 的导数
例题 4 解答
令 \( u = -4x + 1 \) 且 \( y = \ln u \)。使用链式法则求函数 \( f \) 的导数：
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \]由于 \( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \) 且 \( \dfrac{du}{dx} = -4 \)：
\[ f'(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \]代回 \( u = -4x + 1 \)：
\[ f'(x) = \dfrac{-4}{-4x + 1} \]练习题
求下列每个函数的导数：
- \( f(x) = \ln(x^2) \)
- \( g(x) = \ln x - x^7 \)
- \( h(x) = \dfrac{\ln x}{2x - 3} \)
- \( j(x) = \ln(x + 3) \ln(x - 1) \)
上述练习题的解答
- \( f'(x) = \dfrac{2}{x} \)
- \( g'(x) = \dfrac{1}{x} - 7x^6 \)
- \( h'(x) = \dfrac{2x - 3 - 2x \ln x}{x(2x - 3)^2} \)
- \( j'(x) = \dfrac{\ln(x + 3)}{x - 1} + \dfrac{\ln(x - 1)}{x + 3} \)