计算极坐标系下的面积

注意，该圆由射线 \( \theta = \theta_1 \) 和 \( \theta = \theta_2 \) 扫过，我们需要求出 \( \theta_1 \) 和 \( \theta_2 \)。

该圆从原点（\( r(\theta) = 0 \)）开始，到原点（\( r(\theta) = 0 \)）结束。因此，角度 \( \theta_1 \) 和 \( \theta_2 \) 通过求解 \( r(\theta) = 0 \) 得到：

\[ \sin(\theta) = 0 \]

从而得到解：

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{and} \quad \theta_2 = \pi \]

该圆的面积 \( A \) 由下式给出：

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 \sin \theta)^2 \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} (\sin \theta)^2 \, d\theta \]

使用三角恒等式 \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \)：

\[ A = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \left[ \theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\pi} = \pi \]

半径为 \( 1 \) 的给定圆的面积与标准公式 \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \) 相符。

由于图像的对称性，我们求出一个瓣（环）所围成的面积，然后将结果乘以 3。

右侧的瓣从原点（\( r(\theta) = 0 \)）开始并在原点结束。求解 \( \sin(3\theta) = 0 \)：

\[ 3\theta = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]

对于第一象限中的第一个瓣：

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{and} \quad \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]

单个瓣的面积为：

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(6\theta)) \, d\theta = \dfrac{1}{4} \left[ \theta - \dfrac{1}{6}\sin(6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{12} \]

三个瓣的总面积为：

\[ 3A = \dfrac{\pi}{4} \]

由于对称性，我们求右侧由两条曲线封闭的曲面面积，然后乘以 2。

该面积由两部分组成，即 \( A_1 \) 和 \( A_2 \)：

\[ A_1 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r_1^2(\theta) \, d\theta, \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_2}^{\theta_3} r_2^2(\theta) \, d\theta \]

积分上下限：

• \( \theta_1 = 0 \)（其中 \( r_1(\theta) = 0 \)）
• \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \)（其中 \( r_2(\theta) = 0 \)）
• \( \theta_2 \) 是交点：\( \sin(\theta) = 0.5(1 + \cos(2\theta)) \)。利用 \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \)，我们得到 \( \sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \)，从而得出 \( \sin\theta = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \)，因此 \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \)。

计算积分：

\[ A_1 = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{0.66624} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta \approx 0.0450915 \] \[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2} \int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4\theta)) + 2\cos(2\theta)\right) d\theta \approx 0.0409645 \]

总公共面积 \( A = 2(A_1 + A_2) \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 0.172112 \)。