导数与积分公式复习
注意：在下文中，\( c \) 为积分常数。
我们首先复习一些包含二次表达式的已知反函数对应的导数公式：
\[ \begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arcsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arccosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{aligned} \]我们现在利用上述求导公式来写出相应的积分公式：
\[
\begin{aligned}
& \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + c \\[15pt]
& \int \dfrac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + c \\[15pt]
& \int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \operatorname{arcsinh} x + c \\[15pt]
& \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \operatorname{arccosh} x + c
\end{aligned}
\]
带详细解答的例题
例题 1
求积分：
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx \]例题 1 解答
我们首先对表达式 \( -x^2 - x \) 进行配方：
\[ \begin{aligned} & -x^2 - x \\ & = -(x^2 + x) \\ & = -\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \end{aligned} \]将上式代入原积分中：
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2}} \, dx \]将根号内的 \( \dfrac{1}{4} \) 提取出来：
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(1 - \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right)^2\right)}} \, dx = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}} \, dx \]使用换元法：令 \( z = 2x + 1 \)，则 \( dz = 2 \, dx \)（即 \( dx = \dfrac{dz}{2} \)）：
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz = \arcsin(z) + c \]代回 \( z = 2x + 1 \) 得到最终答案：
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \arcsin(2x + 1) + c \]例题 2
求积分：
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx \]例题 2 解答
我们首先对表达式 \( 3x^2 + 12x + 24 \) 进行配方：
\[ \begin{aligned} & = 3(x^2 + 4x) + 24 \\ & = 3\left((x + 2)^2 - 4\right) + 24 \\ & = 3(x + 2)^2 - 12 + 24 = 3(x + 2)^2 + 12 \\ & = 12\left(\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 1\right) = 12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right) \end{aligned} \]代入积分中并使用换元法（\( z = \dfrac{x}{2} + 1 \)，\( dx = 2 \, dz \)）：
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx = \int \dfrac{2}{12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right)} \, dx = \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (2 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz \]计算并代回：
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x}{2} + 1\right) + c \]例题 3
求积分：
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \, dx \]例题 3 解答
对 \( x^2 + 12x + 40 \) 进行配方：
\[ x^2 + 12x + 40 = (x + 6)^2 - 36 + 40 = (x + 6)^2 + 4 \]改写积分：
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{(x + 6)^2 + 4}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{4\left(\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1\right)}} \, dx = \int \dfrac{1}{2\sqrt{\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1}} \, dx \]令 \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \)，则 \( dx = 2 \, dz \)：
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \, dz = \operatorname{arcsinh}(z) + c = \operatorname{arcsinh}\left(\dfrac{x}{2} + 3\right) + c \]例题 4
求积分：
\[ \int \dfrac{1}{10 + x^2 - 2x} \, dx \]例题 4 解答
对分母 \( 10 + x^2 - 2x \) 进行配方：
\[ x^2 - 2x + 10 = (x - 1)^2 - 1 + 10 = (x - 1)^2 + 9 \]改写积分并提取 \( 9 \)：
\[ \int \dfrac{1}{(x - 1)^2 + 9} \, dx = \int \dfrac{1}{9\left(\left(\dfrac{x - 1}{3}\right)^2 + 1\right)} \, dx \]令 \( z = \dfrac{x - 1}{3} \)，则 \( dx = 3 \, dz \)：
\[ = \dfrac{1}{9} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (3 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c \]代回 \( z \)：
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x - 1}{3}\right) + c \]练习题
计算下列积分：
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 12x + 45} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2 + 10x + 13}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{5 + x^2 + 2x} \, dx \)
上述练习题的答案
- \( 3 \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \)
- \( \arctan\left(\dfrac{x}{3} + 2\right) + c \)
- \( \operatorname{arcsinh}(2x + 5) + c \)
- \( \dfrac{1}{2} \arctan\left(\dfrac{x + 1}{2}\right) + c \)