\( x \) 的绝对值的积分：\( \int |x| \, dx \)

推导与计算

计算不定积分：

\[ \int |x| \, dx \]

将被积函数写成乘积形式：

\[ \int |x| \, dx = \int 1 \cdot |x| \, dx \quad (I) \]

回想一下 \( |x| = \sqrt{x^2} \)，它对 \( x \) 的导数由下式给出：

\[ \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d(\sqrt{x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \]

对 (I) 式右侧的积分应用分部积分法公式： \( \displaystyle \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \)。

令 \( u' = 1 \) 且 \( v = |x| \)，从而得到 \( u = x \) 且 \( v' = \dfrac{x}{|x|} \)（来自步骤 II）。

将其代入分部积分公式中：

\[ = x |x| - \int x \cdot \dfrac{x}{|x|} \, dx \quad (III) \]

简化被积函数项 \( x \cdot \dfrac{x}{|x|} \)：

\[ x \cdot \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{|x|^2}{|x|} = |x| \]

将此简化的被积函数代回方程 (III) 中：

\[ \int |x| \, dx = x |x| - \int |x| \, dx \]

在两边同时加上 \( \displaystyle \int |x| \, dx \)：

\[ \int |x| \, dx + \int |x| \, dx = x |x| \] \[ 2 \int |x| \, dx = x |x| \]

两边同除以 2 并加上积分常数 \( C \) 后，最终答案为：