推导与计算
计算自然对数函数积分的步骤：
\[ \int \ln x \, dx \]展示如下。
我们首先将给定的积分改写为：
\[ \int \ln x \, dx = \int 1 \cdot \ln x \, dx \]令 \( u' = 1 \) 且 \( v = \ln x \)，其相应的导数分别为 \( u = x \) 且 \( v' = \dfrac{1}{x} \)。
我们的积分形式为：
\[ \int \ln x \, dx = \int u' \cdot v \, dx \]应用分部积分法公式 \( \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) 写出：
\[ \int \ln x \, dx = u v - \int u \cdot v' \, dx \]代入 \( u \)、\( v \) 和 \( v' \) 得到：
\[ = x \ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \]简化右侧的项：
\[ = x \ln x - \int 1 \, dx \]计算积分：
\[ = x \ln x - x + c \]其中 \( c \) 为积分常数。
\( \ln x \) 的积分公式：
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]