求任意底数对数函数积分的步骤展示如下。
换底公式的应用
令 \( y = \log_a x \)。
使用换底公式将 \( y = \log_a x \) 转换为自然对数（\( \ln \)）形式：
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]我们现在来计算积分：
\[ \int \log_a x \, dx = \int \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right) dx \]由于 \( \ln a \) 是常数，我们可以把它提出来：
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} \int \ln x \, dx \qquad (I) \]\( \ln x \) 的积分由下式给出：
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]将其代回方程 (I) 中得到：
\( \log_a x \) 的积分公式：
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]