求含有对数的积分 - 教程

例题 1 解答：

令 \( U = \ln(x) \) 且 \( V' = 1 \)，并应用分部积分法。因此 \( U' = \dfrac{1}{x} \) 且 \( V = x \)：

\[ \begin{aligned} \int \ln(x) \, dx &= \int U V' \, dx \\ &= U V - \int U' V \, dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + C \end{aligned} \]

检验：对 \( x \ln(x) - x + C \) 求导，可得 \( \ln(x) \)，这正是原积分中的被积函数。

例题 2 解答：

代换：令 \( u = 2x + 1 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) 或 \( du = 2 \, dx \) 或 \( dx = \dfrac{du}{2} \)。积分变为：

\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]

现在我们利用 \( \ln(u) \) 函数的积分公式（见例题 1）：

\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]

将 \( u \) 换回 \( 2x + 1 \)：

\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]

其中 \( K = C - \dfrac{1}{2} \) 是一个常数。

检验：对结果求导以验证其与被积函数相符。

例题 3 解答：

令 \( f(x) = \ln x \) 且 \( g'(x) = x \)，从而得到 \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) 且 \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \)。

利用分部积分法公式 \( \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx \)，我们得到：

\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]

练习：对 \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \) 求导，可得到被积函数 \( x \ln x \)。

例题 4 解答：

令 \( u = \ln x \)，从而 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) 或 \( du = \dfrac{1}{x} \, dx \)。代换后，该积分可以写为：

\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]

积分后得到：

\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]

将 \( u \) 换回 \( \ln x \)：

\[ = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C \]

作为练习，请通过求导来检验最终答案。