曲线长度

例题 1 解答：

我们首先计算导数：

\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2x \]

使用弧长公式：

\[ L = \int_{-15}^{10} \sqrt{1 + (0.2x)^2} \, dx \]

使用三角代换 \( \tan u = 0.2x \)。对两边求导得到：

\[ \sec^2 u \, du = 0.2 \, dx \implies dx = 5\sec^2 u \, du \]

解出 \( \tan u = 0.2x \) 中的 \( u \) 得到 \( u = \arctan(0.2x) \)。代换后的积分上下限为：

• \( u_1 = \arctan(0.2(-15)) = \arctan(-3) \approx -1.24904 \)（当 \( x = -15 \) 时）
• \( u_2 = \arctan(0.2(10)) = \arctan(2) \approx 1.10714 \)（当 \( x = 10 \) 时）

代入积分中：

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sqrt{1 + \tan^2 u} \sec^2 u \, du \]

利用恒等式 \( \sqrt{1 + \tan^2 u} = |\sec u| \)：

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} |\sec u| \sec^2 u \, du \]

由于在区间 \( [-1.24904, 1.10714] \) 上 \( \sec u > 0 \)，因此 \( |\sec u| = \sec u \)，得到：

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sec^3 u \, du \]

利用\( \sec^3 u \) 的积分：

\[ L = \left[ \dfrac{5}{2} \left( \sec u \tan u + \ln|\sec u + \tan u| \right) \right]_{-1.24904}^{1.10714} \approx 43.05 \]

例题 2 解答：

计算导数：

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx}[\ln(\sin x)] = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]

应用弧长公式：

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + (\cot x)^2} \, dx \]

使用三角恒等式 \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \)：

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\csc^2 x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\csc x| \, dx \]

由于在闭区间 \( \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right] \) 上 \( \csc x > 0 \)，因此 \( |\csc x| = \csc x \)：

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc x \, dx \]

使用标准积分公式 \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + C \)：

\[ L = \left[ \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(1) - \ln\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right) \approx 0 - (-0.88137) \approx 0.88137 \]

例题 3 解答：

使用链式法则计算导数：

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{-2(x+2)}{2\sqrt{9 - (x+2)^2}} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]

应用弧长公式：

\[ L = \int_{-4}^{0} \sqrt{1 + \left( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \right)^2} \, dx \]

化简被积函数：

\[ 1 + \dfrac{(x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9 - (x+2)^2 + (x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9}{9 - (x+2)^2} \]

开平方根：

\[ L = \int_{-4}^{0} \dfrac{3}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \, dx \]

使用换元法 \( u = x+2 \)，\( du = dx \)。当 \( x = -4 \) 时，\( u = -2 \)；当 \( x = 0 \) 时，\( u = 2 \)：

\[ L = \int_{-2}^{2} \dfrac{3}{\sqrt{9 - u^2}} \, du = 3 \left[ \arcsin\left(\dfrac{u}{3}\right) \right]_{-2}^{2} \] \[ = 3 \left( \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) - \arcsin\left(-\dfrac{2}{3}\right) \right) = 6 \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 4.38 \]