介绍了将分式 [1] 分解为更简单、易处理的分式。其重要应用之一是在微积分中计算 有理函数积分。其中包含了例题、问题及其解答。
可以使用 在线部分分式分解计算器 来核对例题和问题的答案。
部分分式分解规则
如何将有理函数 \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) 分解为部分分式？
1 - 将上述有理函数分母中的多项式 \( Q(x) \) 完全因式分解为以下形式的因式：
\[ (ax + b)^m \quad \text{and} \quad (ax^2 + bx + c)^n \]示例：设 \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \)。分母因式分解为 \( x^3 + 2x^2 + 4x = x(x^2 + 2x + 4) \)。二次项 \( x^2 + 2x + 4 \) 在实数范围内是不可约的。
2 - 对于形如 \( (ax + b)^m \) 的每个因式，其分解包含以下分式的和：
\[ \dfrac{C_1}{ax + b} + \dfrac{C_2}{(ax + b)^2} + \dots + \dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]示例：分式 \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) 分解为 \( \dfrac{C_1}{x-2} + \dfrac{C_2}{(x-2)^2} + \dfrac{C_3}{(x-2)^3} \)。
3 - 对于形如 \( (ax^2 + bx + c)^n \) 的每个因式，其分解包含以下分式的和：
\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \dots + \dfrac{A_n x + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \]带有详细解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1：将 \( \displaystyle \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} \) 分解为部分分式
例题 1 解答：
我们首先对分母进行因式分解：
\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]两个因式都是一次因式，幂均为 \( 1 \)，因此给定分式分解如下：
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \]将两边乘以最小公分母 \( (x - 2)(x + 1) \) 并化简：
\[ 2x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]展开右侧并合并同类项：
\[ 2x + 5 = x(A + B) + A - 2B \]对比多项式的系数：
\[ 2 = A + B \quad \text{and} \quad 5 = A - 2B \]解此方程组得 \( A = 3 \) 且 \( B = -1 \)。代回：
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 1} \]例题 2：将 \( \displaystyle \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} \) 分解为部分分式
例题 2 解答：
因式分解分母：
\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]利用重复一次因式的规则：
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x + 1)^2} \]两边同乘以 \( (x + 1)^2 \)：
\[ 1 - 2x = A(x + 1) + B \implies -2x + 1 = Ax + (A + B) \]对比系数：
\[ -2 = A \quad \text{and} \quad 1 = A + B \implies B = 3 \]代入 \( A \) 和 \( B \)：
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{-2}{x + 1} + \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]例题 3：将 \( \displaystyle \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} \) 分解为部分分式
例题 3 解答：
使用一次因式和不可约二次因式规则进行分解：
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3} \]两边同乘以 \( (x - 2)(x^2 + 2x + 3) \)：
\[ 4x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x - 2) \]令 \( x = 2 \)：
\[ 4(4) - 2 + 8 = A(4 + 4 + 3) \implies 22 = 11A \implies A = 2 \]令 \( x = 0 \)：
\[ 8 = A(3) + C(-2) \implies 8 = 2(3) - 2C \implies 2 = -2C \implies C = -1 \]令 \( x = 1 \)（已知 \( A = 2, C = -1 \)）：
\[ 4(1) - 1 + 8 = 2(1 + 2 + 3) + (B - 1)(1 - 2) \] \[ 11 = 12 - (B - 1) \implies B = 2 \]该分式分解为：
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 2x + 3} \]问题
将下列分式分解为部分分式：
- \( \displaystyle \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} \)
上述问题的解答
-
因式分解分母：\( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \)。
设法：\( \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2} \)。
答案： \( \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{x + 2} \) -
分母已经因式分解。
设法：\( \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{(x - 3)^2} \)。
答案： \( \dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{3}{(x - 3)^2} \) -
表达式 \( x^2 + 5x + 10 \) 在实数范围内无法因式分解（\( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 < 0 \)）。
设法：\( \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 5x + 10} \)。
答案： \( -\dfrac{2}{x + 4} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 5x + 10} \)
更多参考资料与链接
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
- 在线部分分式分解计算器