使用部分分式分解计算有理函数的积分。本教程展示了带有详细解答的例题，包括分子次数大于或等于分母次数的情况。
注：在下文中，\( C \) 表示积分常数。
您还可以使用在线部分分式分解计算器来帮助分解有理函数。
带有解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1：求 \( \displaystyle \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx \)
例题 1 解答：
我们使用部分分式分解将被积函数分解为更简单的分式：
\[ \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{7}{x + 2} \]现在我们逐项求解积分：
\[ \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \dfrac{2}{x - 1} \, dx - \int \dfrac{7}{x + 2} \, dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 7\ln|x + 2| + C \]例题 2：求 \( \displaystyle \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx \)
例题 2 解答：
对被积函数进行部分分式分解可得：
\[ \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} = \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} - \dfrac{1}{x + 3} \]现在我们求解积分：
\[ \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx = \int \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} \, dx - \int \dfrac{1}{x + 3} \, dx \] \[ = \ln|x^2 + 2x + 9| - \ln|x + 3| + C \]例题 3：求 \( \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx \)
例题 3 解答：
在本例中，分子的次数大于分母的次数。首先进行多项式长除法：
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x - \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \]对项 \( \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \) 进行部分分式分解可得：
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x + \dfrac{2}{x + 2} - \dfrac{3}{x + 3} \]利用上述结果，该积分可以写为：
\[ \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx = \int 2x \, dx + \int \dfrac{2}{x + 2} \, dx - \int \dfrac{3}{x + 3} \, dx \]计算积分为：
\[ = x^2 + 2\ln|x + 2| - 3\ln|x + 3| + C \]练习题
使用部分分式求下列积分。点击每个练习可查看分步解答。
练习 1：求 \( \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \)
解答：
分解为更简单的分式：
\[ \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} \]因此，
\[ \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \left(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2}\right) dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C \]练习 2：求 \( \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx \)
解答：
分解为更简单的分式：
\[ \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} = -\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2} \]因此，
\[ \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx = \int \left(-\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2}\right) dx \] \[ = \ln|2x^2 + x + 2| - 6\ln|x + 7| + C \]练习 3：求 \( \displaystyle \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx \)
解答：
由于分子次数更高，首先进行多项式除法，然后进行分解：
\[ \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} = x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2} \]因此，
\[ \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx = \int \left(x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2}\right) dx \] \[ = \dfrac{x^3}{3} + 2\ln|x + 1| + 5\ln|x + 2| + C \]