本教程结合示例和详细解答，介绍了如何在微积分中使用不定积分规则。同时还包含了一组带有解答的问题。
在下文中，\( C \) 为积分常数，可取任意值。
1 - 幂函数的积分：\( f(x) = x^n \)
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]例题：求积分 \( \displaystyle \int x^5 \, dx \)
解答：
\[ \int x^5 \, dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]2 - 函数 \( f \) 乘以常数 \( k \) 的积分：\( k f(x) \)
\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]例题：求积分 \( \displaystyle \int 5 \sin(x) \, dx \)
解答：
根据上述规则：
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = 5 \int \sin(x) \, dx \]\( \displaystyle \int \sin(x) \, dx \) 见积分公式表中的公式 2.1，因此：
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = -5 \cos x + C \]3 - 和函数的积分
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]例题：求积分 \( \displaystyle \int (x + e^x) \, dx \)
解答：
根据上述性质：
\[ \int (x + e^x) \, dx = \int x \, dx + \int e^x \, dx \]\( \int x \, dx \) 见积分公式表中的 1.3，\( \displaystyle \int e^x \, dx \) 见 4.1，因此：
\[ \int (x + e^x) \, dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]4 - 差函数的积分
\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]例题：求积分 \( \displaystyle \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) \, dx \)
解答：
根据上述性质：
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = \int 2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \]\( \int 2 \, dx \) 见积分公式表中的 1.2，\( \int \frac{1}{x} \, dx \) 见 1.4，因此：
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = 2x - \ln|x| + c \]5 - 换元积分法
\[ \int f(u) \dfrac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]例题：求积分 \( \displaystyle \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx \)
解答：
令 \( u = x^2 - 1 \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)，所给积分可以写为：
\[ \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx = \int u^{20} \dfrac{du}{dx} \, dx = \int u^{20} \, du \]计算得：
\[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \]代回 \( u = x^2 - 1 \)：
\[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]6 - 分部积分法
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]例题：求积分 \( \displaystyle \int x \cos x \, dx \)
解答：
令 \( f(x) = x \) 且 \( g'(x) = \cos x \)，从而得到 \( f'(x) = 1 \) 且 \( g(x) = \sin x \)。
根据上面的分部积分公式：
\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \] \[ = x \sin x + \cos x + c \]更多带有解答的问题
请使用积分公式表和上述规则求出以下积分。[注意：一个积分可能需要用到上述多条规则]。
点击每个问题以查看其详细的分步解答。
问题 1：求 \( \displaystyle \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx \)
解答：
将常数 \( \frac{1}{2} \) 提到积分符号外面：
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) \, dx \]使用分部积分法。令 \( u = \ln(x) \) 且 \( dv = dx \)，则 \( du = \frac{1}{x} \, dx \) 且 \( v = x \)：
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \] \[ \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx = x\ln(x) - x + C \]因此：
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2}\bigl(x\ln(x) - x\big) + C \]问题 2：求 \( \displaystyle \int (\sin x + x^5) \, dx \)
解答：
使用规则 3（和函数的积分）可得：
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \]我们使用积分公式表中的公式 2.1 来计算 \( \int \sin x \, dx \)，并使用上面的规则 1 来计算 \( \int x^5 \, dx \)。因此：
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]问题 3：求 \( \displaystyle \int (\sinh x - 3) \, dx \)
解答：
使用规则 4（差函数的积分）可得：
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \]我们使用积分公式表中的公式 7.1 来计算 \( \int \sinh x \, dx \)，并结合常数 \( 3 \) 的积分可得：
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]问题 4：求 \( \displaystyle \int x \sin x \, dx \)
解答：
被积函数是两个函数 \( x \) 和 \( \sin x \) 的乘积。我们使用分部积分法（规则 6）：
令 \( f(x) = x \) 且 \( g'(x) = \sin x \)，因此 \( f'(x) = 1 \) 且 \( g(x) = -\cos x \)。
然后：
\[ \int x \sin x \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx = -x \cos x - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]使用积分公式表中的公式 2.2 计算 \( \int \cos x \, dx \)，我们得到：
\[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + c \]问题 5：求 \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \cos(x) \, dx \)
解答：
令 \( u = \sin x \)，因此 \( du = \cos x \, dx \)。于是所给积分可以写为：
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \]使用规则 1 写为：
\[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \]代入 \( u = \sin x \) 得到：
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]