复习降幂公式
对于正整数 \( n \)，我们在三角函数中有以下公式可用于降低 \( \sin(x) \) 的幂：
- (a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
- (b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
- (c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
- (d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
- (e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
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例题 1：求 \( \displaystyle \int \sin^2(x) \, dx \)
例题 1 解答：
核心思路是使用恒等式 \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) 来降低幂次，从而使积分易于求解：
\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}\int 1 \, dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]例题 2：求 \( \displaystyle \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \)
例题 2 解答：
使用降幂公式重写积分：
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \] \[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [-9 + 14\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \left( -9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x) \right) + C \]练习题
计算下列积分。点击每个练习以查看分步解答。
练习 (a)：求 \( \displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)
解答：
代入 \( \sin^6(x) \) 和 \( \sin^2(x) \) 的降幂公式：
\[ 8 \cdot \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - 2 \cdot \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{4}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - (1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{5}{2} - \dfrac{15}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) - 1 + \cos(2x) \] \[ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{11}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) \]逐项积分得：
\[ \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \]练习 (b)：求 \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)
解答：
代入 \( \sin^4(x) \) 和 \( \sin^2(x) \) 的降幂公式：
\[ 4 \cdot \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}[3 - 4\cos(2x) + \cos(4x) + 1 - \cos(2x)] = \dfrac{1}{2}[4 - 5\cos(2x) + \cos(4x)] \] \[ = 2 - \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \]逐项积分得：
\[ 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \]