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例题 1：求 \( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx \)
例题 1 解答：
核心思路是将 \( \sin(x) \) 的幂重写为一个幂为 1 的项和一个偶次幂项的乘积：
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]因此，给定的积分可以写为：
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \]使用三角恒等式 \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) 写作：
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \]令 \( u = \cos(x) \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) 或 \( -du = \sin(x) \, dx \)。代入积分中：
\[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - 1) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - u + C \]代回 \( u = \cos(x) \)：
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]例题 2：求 \( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx \)
例题 2 解答：
将 \( \sin^5(x) \) 重写为 \( \sin^4(x) \sin(x) \)。因此，积分变为：
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \]使用恒等式 \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) 将 \( \sin^4(x) \) 用 \( \cos(x) \) 的幂表示：
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \]令 \( u = \cos(x) \)，从而得到 \( du = -\sin(x) \, dx \) 或 \( -du = \sin(x) \, dx \)。代入积分中：
\[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \]展开并计算右侧的积分：
\[ = - \int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = - \left( u - \dfrac{2}{3}u^3 + \dfrac{1}{5}u^5 \right) + C = -\dfrac{1}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 - u + C \]代回 \( u = \cos(x) \)：
\[ \int \sin^5(x) \, dx = -\left(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)\right) + C \]练习题
计算下列积分。点击每个练习以查看分步解答。
练习 1：求 \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)
解答：
重写为 \( \int \sin^6(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^3 \sin(x) \, dx \)。
令 \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \)：
\[ = -\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) \, du = - \left( u - u^3 + \dfrac{3}{5}u^5 - \dfrac{1}{7}u^7 \right) + C \]代回 \( u = \cos(x) \)：
\[ = \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \]练习 2：求 \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)
解答：
重写为 \( \int \sin^8(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^4 \sin(x) \, dx \)。
令 \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \)：
\[ = -\int (1 - 4u^2 + 6u^4 - 4u^6 + u^8) \, du \] \[ = - \left( u - \dfrac{4}{3}u^3 + \dfrac{6}{5}u^5 - \dfrac{4}{7}u^7 + \dfrac{1}{9}u^9 \right) + C \]代回 \( u = \cos(x) \) 并按降幂重新排列：
\[ = -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]