使用绕 x 轴的圆盘法来求圆台的体积。
在下文中，\( C \) 表示积分常数。
圆台体积公式
问题：求高为 \( h \)、半径分别为 \( r \) 和 \( R \) 的圆台体积，如下图所示。
问题解答：
圆台可以通过将 \( y = mx \) 在 \( x = a \) 和 \( x = b \) 之间绕 x 轴旋转得到，如下所示。高度 \( h = b - a \)。
旋转一个半径为 \( y \)（因此面积为 \( \pi y^2 \)）、厚度为 \( dx \) 的圆盘（红色），圆台的体积 \( V \) 可以写为：
\[ V = \int_a^b \pi y^2 \, dx \quad (I) \]斜率 \( m \) 由下式给出：
\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]其中 \( h \) 是圆台的高度，满足：
\[ h = b - a \]在方程 (I) 中将 \( y \) 替换为 \( mx \)，得到：
\[ V = m^2 \pi \int_a^b x^2 \, dx \]计算积分：
\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \] \[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]注意：
\[ r = m a \quad \text{和} \quad R = m b \]因此：
\[ a = \dfrac{r}{m} \quad \text{和} \quad b = \dfrac{R}{m} \]将这些代入方程 (II)：
\[ V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]化简：
\[ V = \dfrac{1}{3 m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]在上式中用 \( \dfrac{R - r}{h} \) 替换 \( m \)，并重写为：
\[ V = \dfrac{\pi h}{3} \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R - r} \quad (III) \]注意，通过二元多项式除法，\( \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} \) 可以化简为：
\[ \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} = R^2 + rR + r^2 \]将上式代入方程 (III)，得到圆台体积的最终公式：
\[ \Large \displaystyle \boxed{V = \dfrac{\pi h}{3} \left(R^2 + rR + r^2\right)} \]