旋转体简介
学习如何求由曲线围成的区域绕 x 轴或 y 轴旋转所生成的旋转体体积。本教程使用定积分，涵盖圆盘法（适用于实心形状）和垫圈法（适用于带空心中心的形状），并配有公式、直观图形和分步练习题。
在下文中，\( C \) 表示积分常数。
体积公式
公式 1：圆盘法（绕 x 轴）
如果 \( f \) 是一个函数，使得在区间 \( [x_1 , x_2] \) 中的所有 \( x \) 都有 \( f(x) \geq 0 \)，则将由 \( f \) 的图象、x 轴（\( y = 0 \)）以及垂直线 \( x = x_1 \) 和 \( x = x_2 \) 围成的区域绕 x 轴旋转所生成的旋转体体积由下式给出：
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)]^2 \, dx \]
公式 2：垫圈法（绕 x 轴）
如果 \( f \) 和 \( h \) 是函数，使得在区间 \( [x_1 , x_2] \) 中的所有 \( x \) 都有 \( f(x) \geq h(x) \), 则将由 \( f \) 和 \( h \) 的图象围成的区域绕 x 轴旋转所生成的旋转体体积由下式给出：
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)^2 - h(x)^2] \, dx \]
公式 3：圆盘法（绕 y 轴）
如果 \( z \) 是关于 \( y \) 的函数，使得在区间 \( [y_1 , y_2] \) 中的所有 \( y \) 都有 \( x = z(y) \) 且 \( z(y) \geq 0 \)，则将由 \( z \)、y 轴（\( x = 0 \)）以及水平线 \( y = y_1 \) 和 \( y = y_2 \) 围成的区域绕 y 轴旋转所生成的体积为：
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)]^2 \, dy \]
公式 4：垫圈法（绕 y 轴）
如果 \( z \) 和 \( w \) 是关于 \( y \) 的函数，使得在区间 \( [y_1 , y_2] \) 中的所有 \( y \) 都有 \( z(y) \geq w(y) \)，则将由 \( z \) 和 \( w \) 围成的区域绕 y 轴旋转所生成的体积由下式给出：
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)^2 - w(y)^2] \, dy \]
带有详细解答的例题
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例题 1
求由 \( y = x \)、\( y = 0 \)、\( x = 0 \) 和 \( x = 2 \) 的图象围成的区域绕 x 轴旋转所生成的旋转体体积。
显示解答
方法 1：几何公式
因为 \( y = x \) 构成一个三角形，旋转它会创建一个半径为 2、高为 2 的右圆锥。使用几何公式：
\[ \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi (\text{radius})^2 (\text{height}) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (2) = \frac{8\pi}{3} \]方法 2：定积分（圆盘法）
设 \( f(x) = x \)。使用公式 1，体积由从 0 到 2 的定积分给出：
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi x^2 \, dx = \left[ \pi \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8\pi}{3} \]例题 2
求半圆 \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) 绕 x 轴旋转所生成的旋转体体积，其中 \( r > 0 \)。
显示解答
\( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) 的图象在从 \( x = -r \) 到 \( x = r \) 之间有界。体积由圆盘法（公式 1）给出：
\[ \text{Volume} = \int_{-r}^{r} \pi \left(\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 \, dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) \, dx \]求原函数并在上下限处求值：
\[ = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^r \] \[ = \pi \left[ \left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi r^3 \]这就导出了著名的球体积公式！
例题 3
求由 \( y = x \)、\( y = -x + 2 \) 以及 x 轴围成的阴影区域绕 y 轴旋转所生成的体积。
显示解答
由于旋转体是通过绕 y 轴旋转生成的，我们必须将方程重写为关于 \( y \) 的函数（\( x = z(y) \)）。沿 y 轴的积分上下限是从 \( y = 0 \) 到 \( y = 1 \)（两条线相交处）。
右侧曲线为 \( y = -x + 2 \implies x = 2 - y \)。
左侧曲线为 \( y = x \implies x = y \)。
使用垫圈法（公式 4）：
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} \pi [ (2-y)^2 - y^2 ] \, dy \]展开二项式并化简被积函数：
\[ = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y + y^2 - y^2 ] \, dy = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y ] \, dy \]积分并求值：
\[ = \pi \left[ 4y - 2y^2 \right]_0^1 = \pi (4 - 2) = 2\pi \]例题 4
求由曲线 \( y = 1 + x^2 \) 和 \( y = \sqrt{x} \) 围成的区域从 \( x = 0 \) 到 \( x = 2 \) 绕 x 轴旋转所生成的体积。
显示解答
我们沿 x 轴使用垫圈法（公式 2）。设 \( f(x) = 1 + x^2 \)（外半径）且 \( h(x) = \sqrt{x} \)（内半径）。
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \] \[ = \int_{0}^{2} \pi \left( (1+x^2)^2 - (\sqrt{x})^2 \right) \, dx \]展开平方：
\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1 + 2x^2 + x^4 - x ) \, dx \]使用幂法则积分：
\[ = \pi \left[ x + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \]在 \( x = 2 \) 处求值：
\[ = \pi \left( 2 + \frac{16}{3} + \frac{32}{5} - 2 \right) = \frac{176\pi}{15} \]例题 5
求以 \( (0, R) \) 为中心、半径为 \( r \) 的圆绕 x 轴旋转所生成的环面体积。
显示解答
圆的方程由 \( x^2 + (y - R)^2 = r^2 \) 给出。
解出 \( y \) 以得到圆的上半部分和下半部分：
- 上半圆：\( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \)
- 下半圆：\( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \)
由于关于 y 轴对称，我们可以从 \( x = 0 \) 积分到 \( x = r \)，然后将结果乘以 2 以求得总体积。使用垫圈法（公式 2）：
\[ \frac{1}{2} \text{Volume} = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 \right] \, dx \]当你展开并相减各项时，\( R^2 \) 和 \( (r^2 - x^2) \) 项会抵消，留下：
\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx \]\( \sqrt{r^2 - x^2} \) 的积分产生四分之一圆的面积，我们可以使用标准三角代换规则来求解：
\[ = 4 R \pi \left( \frac{1}{2} \right) \left[ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arcsin\left(\frac{x}{r}\right) \right]_0^r \] \[ = 2 R \pi \left( r^2 \arcsin(1) - 0 \right) = 2 R \pi \left( r^2 \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 R r^2 \]由于这只是环面的一半，总体积是上述结果的两倍：
\[ \text{Volume} = 2 \pi^2 R r^2 \]（注：此处修正了原微积分推导中关于 arcsin 项的一个微小排版错误，以保证数学准确性）。
练习题
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练习 1
求由 \( f(x) = x^2 + 2 \) 和 \( h(x) = x \) 的图象之间的区域在区间 \( [0, 1] \) 上绕 x 轴旋转所生成的体积。
显示解答
使用绕 x 轴的垫圈法：
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2)^2 - (x)^2 \right] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 4x^2 + 4 - x^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 3x^2 + 4) \, dx \]积分并在边界处求值：
\[ = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + x^3 + 4x \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{5} + 1 + 4 \right) = \frac{26\pi}{5} \]练习 2
求由曲线 \( y = x^3 \) 和 \( y = x^2 \) 围成的有限区域绕 y 轴旋转所生成的体积。
显示解答
首先，通过令 \( x^3 = x^2 \) 找到交点。曲线在 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \) 处相交，对应于 \( y = 0 \) 和 \( y = 1 \)。
由于我们是绕 y 轴旋转，我们需要将 \( x \) 表示为 \( y \) 的函数。在区间 \( y \in [0, 1] \) 中，\( y = x^3 \implies x = y^{1/3} \) 是外半径，而 \( y = x^2 \implies x = y^{1/2} \) 是内半径。
使用绕 y 轴的垫圈法：
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (y^{1/3})^2 - (y^{1/2})^2 \right] \, dy = \pi \int_{0}^{1} (y^{2/3} - y) \, dy \]积分并求值：
\[ = \pi \left[ \frac{3}{5}y^{5/3} - \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{10} \]