使用定积分和圆柱壳法（其中积分方向垂直于旋转轴）求由函数图象围成的区域绕其中一个轴旋转所生成的旋转体体积。页面底部附有带答案的练习题。
在下文中，\( C \) 表示积分常数。
公式 - 圆柱壳法
如果 \( f \) 是一个函数，使得对于区间 \( [x_1, x_2] \) 中的所有 \( x \) 都有 \( f(x) \geq 0 \)，则将由 \( f \) 的图象、\( x \) 轴（\( y = 0 \)）以及垂直线 \( x = x_1 \) 和 \( x = x_2 \) 所围成的区域绕 \( y \) 轴旋转所生成的旋转体体积由以下积分给出：
\[ \Large \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) \, dx \]
如果 \( g \) 是一个函数，使得对于区间 \( [y_1, y_2] \) 中的所有 \( y \) 都有 \( g(y) \geq 0 \)，则将由 \( g \) 的图象、\( y \) 轴（\( x = 0 \)）以及水平线 \( y = y_1 \) 和 \( y = y_2 \) 所围成的区域绕 \( x \) 轴旋转所生成的旋转体体积由以下积分给出：
\[ \Large \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} 2\pi y g(y) \, dy \]带有详细解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1：三角形绕 \( y \) 轴旋转所生成旋转体的体积
例题 1 解答：
注意，该问题已经在旋转体的体积中使用圆盘/垫圈法求解过。现在我们用圆柱壳法来求解它。
要旋转的区域由 \( x = 0 \)、\( y = 0 \) 以及两条曲线 \( y = x \) 和 \( y = -x + 2 \) 围成，交点为 \( (1, 1) \)。因此我们将积分分成两部分：
\[ \text{Text} \implies \text{Volume} = \int_{0}^{1} 2\pi x(x) \, dx + \int_{1}^{2} 2\pi x(-x + 2) \, dx \]积分：
\[ = 2\pi \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 + 2\pi \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2\right]_1^2 \]计算：
\[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\left(-\dfrac{8}{3} + 4\right) - \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right)\right] \] \[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3}\right] = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi}{3} = 2\pi \]例题 2：第一象限中由三次曲线区域生成的旋转体体积
例题 2 解答：
\( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) 和 \( y = -x + 1 \) 的图象如下所示。
\( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) 的 \( x \) 轴截距通过求解以下方程得出：
\[ -x^3 + 2x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2(-x + 2) + 1(-x + 2) = 0 \implies (-x + 2)(x^2 + 1) = 0 \]这给出 \( x = 2 \)。\( y = -x + 1 \) 的 \( x \) 轴截距为 \( x = 1 \)。
从 \( x = 0 \) 到 \( x = 1 \)，该区域上方由 \( f(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) 限界，下方由 \( h(x) = -x + 1 \) 限界。体积 \( V_1 \) 为：
\[ V_1 = \int_{0}^{1} 2\pi x (f(x) - h(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2 - (-x + 1)) \, dx \] \[ = 2\pi \int_{0}^{1} (-x^4 + 2x^3 + x) \, dx = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{8\pi}{5} \]从 \( x = 1 \) 到 \( x = 2 \)，该区域上方由 \( f(x) \) 限界，下方由 \( y = 0 \) 限界。体积 \( V_2 \) 为：
\[ V_2 = \int_{1}^{2} 2\pi x f(x) \, dx = 2\pi \int_{1}^{2} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2) \, dx \] \[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^2 = \dfrac{59\pi}{15} \]总体积 \( V = V_1 + V_2 = \dfrac{8\pi}{5} + \dfrac{59\pi}{15} = \dfrac{83\pi}{15} \)。
例题 3：正弦曲线区域绕 \( y \) 轴旋转生成的体积
例题 3 解答：
求由 \( y = 0 \)、\( x = 0 \) 以及 \( y = a + \sin(x) \)（其中 \( 0 \leq x \leq 2\pi \) 且 \( a \geq 1 \)）围成的区域绕 \( y \) 轴旋转所生成体积的公式：
\[ V = \int_{0}^{2\pi} 2\pi x (a + \sin(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2\pi} ax \, dx + 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin(x) \, dx \]计算第一个积分 \( I_1 \)：
\[ I_1 = 2\pi a \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 4\pi^3 a \]使用分部积分法（\( u = x \)，\( dv = \sin(x) \, dx \)）计算第二个积分 \( I_2 \)：
\[ I_2 = 2\pi \left[ -x \cos(x) \right]_0^{2\pi} + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx = -4\pi^2 + 0 = -4\pi^2 \]总体积：\( V = I_1 + I_2 = 4\pi^3 a - 4\pi^2 \)。
例题 4：第一象限中的椭圆绕 \( x \) 轴旋转生成的体积
例题 4 解答：
使用圆柱壳法求第一象限中由 \( y = 0 \)、\( x = 0 \) 以及 \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) 围成的面积绕 \( x \) 轴旋转所生成旋转体的体积公式（\( a, b > 0 \)）。
求解 \( x \)：\( x = a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \)。
由于旋转轴是 \( x \) 轴，圆柱壳平行于 \( x \) 轴：
\[ V = \int_{0}^{b} 2\pi y \left( a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \right) dy \]使用代换 \( u = 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \) 并计算得到：
\[ V = \dfrac{2\pi a b^2}{3} \]练习题
计算下列积分。点击每个练习以查看分步解答。
练习 1：求当 \( f(x) = -x^4 + 3x^3 - x + 3 \) 在第一象限的部分图象绕 \( y \) 轴旋转时所生成的旋转体体积。
解答：
通过求解 \( -x^4 + 3x^3 - x + 3 = 0 \implies x^3(3 - x) + 1(3 - x) = (x^3 + 1)(3 - x) = 0 \implies x = 3 \)（在第一象限中）来找到 \( x \) 轴截距。
使用从 \( x = 0 \) 到 \( x = 3 \) 的圆柱壳法公式：
\[ V = \int_{0}^{3} 2\pi x (-x^4 + 3x^3 - x + 3) \, dx = 2\pi \int_{0}^{3} (-x^5 + 3x^4 - x^2 + 3x) \, dx \]逐项积分：
\[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^6}{6} + \dfrac{3x^5}{5} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} \right]_0^3 = \dfrac{288\pi}{5} \]