一阶与二阶导数定理

定理 1 - 驻点

如果函数 \( f \) 在 \( x = a \) 处具有相对极小值或极大值，则要么 \( f'(a) = 0 \)（驻点），要么 \( f'(a) \) 不存在。

例如，上方显示了函数 \( f \) 及其导数 \( f' \) 的图像。在 \( f \) 的极大值（\( x = 2 \)）和极小值（\( x = -2 \)）处，\( f' = 0 \)。

定理 2 - 一阶导数测试

设 \( f \) 是一个连续函数。

• 2.a - 如果 \( f'(a) = 0 \) 或 \( f'(x) \) 在 \( x = a \) 处不存在，且在 \( a \) 的左侧 \( f'(x) < 0 \) 且在 \( a \) 的右侧 \( f'(x) > 0 \)，则 \( f \) 在 \( x = a \) 处具有相对极小值。
• 2.b - 如果 \( f'(a) = 0 \) 或 \( f'(x) \) 在 \( x = a \) 处不存在，且在 \( a \) 的左侧 \( f'(x) > 0 \) 且在 \( a \) 的右侧 \( f'(x) < 0 \)，则 \( f \) 在 \( x = a \) 处具有相对极大值。

2.a 和 2.b 都可以通过上面图 1 中的图像清楚地验证。

• 2.c - 如果 \( f'(a) \) 在 \( x = a \) 的左侧和右侧具有相同的符号，则 \( f \) 没有极小值或极大值。

下面图 2 展示了一个函数 \( f \) 的图像，它既没有极小值也没有极大值，并且其一阶导数没有改变符号。

定理 3 - 一阶与二阶导数测试

假设 \( f' \) 和 \( f'' \) 在 \( x = a \) 处都存在，且 \( f'(a) = 0 \)（驻点）。

• 3.a - 如果 \( f''(a) > 0 \)，则 \( f \) 在 \( x = a \) 处具有相对极小值。
• 3.b - 如果 \( f''(a) < 0 \)，则 \( f \) 在 \( x = a \) 处具有相对极大值。
• 3.c - 如果 \( f''(a) = 0 \)，则无法得出结论；请使用上面的定理 2。

以下是函数 \( f \)、其一阶导数 \( f' \) 及其二阶导数 \( f'' \) 的图像。我们可以轻松验证：

1. 在 \( f'(-2) = 0 \) 且 \( f''(-2) < 0 \) 的点（\( x = -2 \)）处，\( f \) 具有相对极大值。
2. 在 \( f'(2) = 0 \) 且 \( f''(2) > 0 \) 的点（\( x = 2 \)）处，\( f \) 具有相对极小值。