本教程介绍如何在微积分中使用一阶导数和二阶导数来研究函数图像的性质。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
定理
为了在微积分中绘制函数图像，我们首先回顾几个定理。其中有三个定理用于使用一阶和二阶导数寻找最大值和最小值，这里将它们与另外两个定理结合起来，用于研究完整的函数图像。
定理 4：如果 \( f \) 在区间 \( [I_1, I_2] \) 上有定义，并且在区间 \( (I_1, I_2) \) 上可导，则：
- 4.a：如果在 \( (I_1, I_2) \) 上 \( f'(x) > 0 \)，则 \( f \) 在 \( [I_1, I_2] \) 上单调递增。
- 4.b：如果在 \( (I_1, I_2) \) 上 \( f'(x) < 0 \)，则 \( f \) 在 \( [I_1, I_2] \) 上单调递减。
- 4.c：如果在 \( (I_1, I_2) \) 上 \( f'(x) = 0 \)，则 \( f \) 在 \( [I_1, I_2] \) 上为常数。
定理 5：如果 \( f \) 在区间 \( (I_1, I_2) \) 上二次可导，则：
- 5.a：如果在 \( (I_1, I_2) \) 上 \( f''(x) > 0 \)，则 \( f \) 在 \( [I_1, I_2] \) 上向上凹（凸弧）。
- 5.b：如果在 \( (I_1, I_2) \) 上 \( f''(x) < 0 \)，则 \( f \) 在 \( [I_1, I_2] \) 上向下凹（凹弧）。
带有详细解答的例题
我们展示了结合使用上文“使用一阶和二阶导数”中的定理以及定理 4 和 5 来绘制函数图像的示例。
点击每个解答按钮以查看分步曲线描绘指南。
例题 1
使用一阶和二阶导数定理绘制由下式定义的函数 \( f \) 的图像：
\[ f(x) = x^2 \]显示例题 1 的解答
第一步：求一阶导数、驻点以及 \( f'(x) \) 的符号，以确定单调增减区间。
\[ f'(x) = 2x \]驻点是 \( f'(x) = 2x = 0 \) 的解，得到 \( x = 0 \)。
\( f'(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 上为负，因此 \( f \) 在该区间上单调递减（定理 4.b）。\( f'(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上为正，因此 \( f \) 在该区间上单调递增（定理 4.a）。根据定理 2，\( f \) 在 \( x = 0 \) 处取得极小值。
第二步：求二阶导数、其符号以及凹凸性信息。
\[ f''(x) = 2 \quad \text{（恒为正）} \]由于 \( f''(0) = 2 > 0 \)，这确认了在 \( x = 0 \) 处有极小值。该图像在 \( (-\infty, +\infty) \) 上向上凹（定理 5.a）。
第三步：求截距与极值。
\( y \) 截距：\( f(0) = 0 \)。\( x \) 截距：\( x^2 = 0 \implies x = 0 \)。
极小值点位于 \( (0, 0) \)。
第四步：绘制图像。
当 \( x \to \pm\infty \) 时，\( f(x) = x^2 \to +\infty \)。
例题 2
使用一阶和二阶导数定理绘制由下式定义的函数 \( f \) 的图像：
\[ f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \]显示例题 2 的解答
第一步：一阶导数与驻点。
\[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 \]求解 \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \) 得到临界点 \( x = 2 \) 和 \( x = \dfrac{2}{3} \)。
第二步：二阶导数与拐点。
\[ f''(x) = 6x - 8 \]求解 \( 6x - 8 = 0 \) 得到 \( x = \dfrac{4}{3} \)，此处凹凸性发生改变（拐点）。
第三步：截距与端点行为。
\( y \) 截距：\( f(0) = 0 \)。
\( x \) 截距：因式分解为 \( x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2 = 0 \)，得到 \( x = 0 \) 和 \( x = 2 \)（重根为 2）。
当 \( x \to +\infty \) 时，\( f(x) \to +\infty \)。当 \( x \to -\infty \) 时，\( f(x) \to -\infty \)。
第四步：符号表与图像。
