二次函数的凹凸性
函数的凹凸性由其二阶导数的符号决定。对于具有以下形式的二次函数：
\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]其一阶导数和二阶导数分别为：
\[ f'(x) = 2 a x + b \] \[ f''(x) = 2 a \]由于 \( f''(x) \) 是一个常数且仅取决于 \( a \)，抛物线的凹凸性由 \( a \) 的符号决定：
- 如果 \( a > 0 \)，则 \( f''(x) > 0 \)，图形为向上凹（凹向上）。
- 如果 \( a < 0 \)，则 \( f''(x) < 0 \)，图形为向下凹（凹向下）。
经典例题
以下是通过详细解答说明这些情况的示例。
例 1：二次函数的凹凸性
确定以下二次函数的凹凸性：
\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]例 1 的解答
首先，展开并重写 \( f(x) \)：
\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]首项系数 \( a = -1 \) 为负，因此图像是向下凹的。
例 2：二次函数的凹凸性
确定以下二次函数的凹凸性：
\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]例 2 的解答
展开并简化 \( f(x) \)：
\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]首项系数 \( a = 1 \) 为正，因此图像是向上凹的。
练习题与答案
确定下面每个二次函数的凹凸性：
- \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
- \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
- \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)
答案
- 向上凹（展开得到 \( x^2 - 6x + 8 \)，其中 \( a = 1 > 0 \)）
- 向下凹（展开得到 \( -2x^2 + 12x - 23 \)，其中 \( a = -2 < 0 \)）
- 向下凹（展开得到 \( -x^2 + 15x - 18 \)，其中 \( a = -1 < 0 \)）