本文介绍了图形凹凸性的定义以及拐点。通过带有详细解答的示例，阐述了如何利用一阶和二阶导数来阐明凹凸性的概念。
凹凸性的直观示例
例 1：凹向上（Concavity Up）
注意，切线的斜率（一阶导数）在增加。下图中的图形被称为凹向上。
图 1
例 2：凹向下（Concavity Down）
在下图中，切线的斜率（一阶导数）在减小。我们称该图形为凹向下。
图 2
凹凸性的定义
设 \( f' \) 是在给定区间 \( I \) 上可导的函数 \( f \) 的一阶导数。函数 \( f \) 的图形满足：
- (i) 如果 \( f' \) 在区间 \( I \) 上递增，则在区间 \( I \) 上是凹向上的；或者
- (ii) 如果 \( f' \) 在区间 \( I \) 上递减，则在区间 \( I \) 上是凹向下的。
二阶导数的符号可以告诉我们 \( f' \) 是在递增还是递减。
定理
设 \( f'' \) 是函数 \( f \) 在给定区间 \( I \) 上的二阶导数。函数 \( f \) 的图形满足：
- (i) 如果在区间 \( I \) 上 \( f''(x) > 0 \)，则在 \( I \) 上凹向上。
- (ii) 如果在区间 \( I \) 上 \( f''(x) < 0 \)，则在 \( I \) 上凹向下。
拐点的定义
如果函数 \( f \) 在点 \( P \) 处连续，且图形的凹凸性在 \( P \) 处发生改变，则图形 \( y = f(x) \) 上的点 \( P \) 称为拐点。根据上述定理，每当二阶导数改变符号时，就会出现拐点。
经典例题
例 3：二次函数
问题：求二次项系数 \( a \) 的取值范围，使得函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的图形凹向上或凹向下。
解答：
我们首先求函数 \( f \) 的一阶和二阶导数：
\[ f'(x) = 2ax + b \] \[ f''(x) = 2a \]现在我们研究等于 \( 2a \) 的 \( f''(x) \) 的符号：
- 如果 \( a \) 为正，则 \( f''(x) \) 在区间 \((-\infty, +\infty)\) 上为正。根据上面的定理，对于 \( a \) 的正值，\( f \) 的图形将是凹向上的。
- 如果 \( a \) 为负，由于 \( f''(x) = 2a \) 为负，\( f \) 的图形将在区间 \((-\infty, +\infty)\) 上凹向下。
下面展示了两个二次函数的图形：\( y = 2x^2 - 2x - 1 \)（凹向上，因为 \( a = 2 > 0 \)）以及 \( y = -x^2 + 3x + 1 \)（凹向下，因为 \( a = -1 < 0 \)）。
例 4：多项式函数的凹凸性与拐点
问题：
a) 求函数 \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \) 的图形凹向上、凹向下的区间，以及所有的拐点（如果有的话）。
b) 使用图形计算器绘制 \( f \) 的图形并验证你对 a) 的解答。
解答：
让我们求函数 \( f \) 的前两个导数：
\[ f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \] \[ f''(x) = 12x^2 - 12x \]求 \( f''(x) \) 的零点：
\[ 12x^2 - 12x = 0 \] \[ 12x(x - 1) = 0 \]得到两个零点：\( x = 0 \) 和 \( x = 1 \)。
研究 \( f'' \) 的符号：
这两个零点将实数集分为三个区间。在每个区间中取一个 \( x \) 值：
利用符号表和上面的定理：
- 在区间 \((-\infty, 0)\) 上；\( f'' \) 为正 \(\implies\) \( f \) 的图形凹向上。
- 在区间 \((0, 1)\) 上；\( f'' \) 为负 \(\implies\) \( f \) 的图形凹向下。
- 在区间 \((1, +\infty)\) 上；\( f'' \) 为正 \(\implies\) \( f \) 的图形凹向上。
二阶导数 \( f'' \) 在 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \) 处改变符号，因此 \( f \) 的图形有两个拐点：\( (0, f(0)) \) 和 \( (1, f(1)) \)。
b) 图形验证：
下面展示了 \( f \)（蓝色）和 \( f'' \)（红色）的图形。每当 \( f'' \) 为负时，\( f \) 凹向下；每当 \( f'' \) 为正时，\( f \) 凹向上。
例 5：根据二阶导数的图形进行分析
问题：函数 \( f \) 的二阶导数 \( f'' \) 的图形如下所示。求 \( f \) 凹向上、凹向下的区间，以及所有的拐点（如果有的话）。
解答：
- 在区间 \((-\infty, 2)\) 上，\( f'' \) 的图形在 x 轴下方（\( f'' < 0 \b\right) \)，因此 \( f \) 凹向下。
- 在区间 \((2, +\infty)\) 上，\( f'' \) 的图形在 x 轴上方（\( f'' > 0 \)），因此 \( f \) 凹向上。
- 在 \( x = 2 \) 处，\( f'' \) 的符号发生了改变，因此 \( x = 2 \) 是一个拐点。
例 6：根据一阶导数的图形进行分析
问题：函数 \( f \) 的一阶导数 \( f' \) 的图形如下所示。求 \( f \) 的图形凹向上、凹向下的区间，以及所有的拐点（如果有的话）。
解答：
我们利用一阶导数 \( f' \) 的图形来寻找二阶导数（\( f'' = (f')' \)）的符号并推导凹凸性：
- 在区间 \((-\infty, -2)\) 上，\( f' \) 递减（\( f'' < 0 \b\right) \(\implies\) \( f \) 的图形凹向下。
- 在区间 \((-2, -1)\) 上，\( f' \) 递增（\( f'' > 0 \)） \(\implies\) \( f \) 的图形凹向上。
- 在区间 \((-1, 1)\) 上，\( f' \) 递减（\( f'' < 0 \)） \(\implies\) \( f \) 的图形凹向下。
- 在区间 \((1, +\infty)\) 上，\( f' \) 递增（\( f'' > 0 \)） \(\implies\) \( f \) 的图形凹向上。
\( f \) 图形的凹凸性在 \( x = -2 \)、\( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 处发生改变；因此，这些都是拐点。