本文结合实例介绍了微积分中连续函数概念的导言与定义。同时，还讨论了连续性定理及其在微积分中的应用。
连续函数的导言与定义
我们首先从几个连续函数的图形开始。由于这些图形没有“断裂”、“间隙”或“孔洞”，因此称其图形所示的函数为连续函数。
下面我们来看看不连续函数的示例。这些图形具有断裂、间隙或无定义的点。
情况 1：在某点处无定义（孔洞）
在下图的图形中，函数在 \( x = 2 \) 处无定义。该图形在 \( x = 2 \) 处有一个孔洞，称该函数不连续。
情况 2：左右极限不匹配
在下图的图形中，函数从左侧和右侧趋近的极限不相等，因此在 \( x = 3 \) 处的极限不存在。称该函数是不连续的。
情况 3：极限不等于函数值
函数在 \( x = 2 \) 处的极限存在，但它不等于函数在 \( x = 2 \) 处的值。该函数也是不连续的。
情况 4：垂直渐近线（极限不存在）
由于函数在 3 的左侧和右侧都无限增大或减小，因此函数在 \( x = 3 \) 处的极限不存在。该函数也是不连续的。
综合以上关于连续与不连续函数示例中收集的所有信息，我们将连续函数定义如下：
如果函数 \( f \) 在点 \( a \) 处满足以下三个条件，则称其连续：
- 1. \( f(a) \) 有定义
- 2. \( \lim_{x\to a} f(x) \) 存在
- 3. \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)
经典例题与解答
例 1：因分母为零导致的不连续
证明下面定义的函数 \( f \) 在 \( x = -2 \) 处不连续：
\[ f(x) = \frac{1}{x + 2} \]解答：
\( f(-2) \) 无定义（不允许除以 0）；因此，函数 \( f \) 在 \( x = -2 \) 处不连续。
例 2：有理函数的连续性
证明函数 \( f \) 对于 \( \mathbb{R} \) 中的所有 \( x \) 值都是连续的：
\[ f(x) = \frac{1}{x^4 + 6} \]解答：
函数 \( f \) 对 \( \mathbb{R} \) 中的所有 \( x \) 值都有定义。\( f \) 在任意点 \( x = a \) 处的极限由两个极限的商给出：常数 1 与 \( x^4 + 6 \) 的极限，后者是一个多项式函数，其极限为 \( a^4 + 6 \)。因此：
\[ \lim_{x\to a} f(x) = \frac{1}{a^4 + 6} \]由于 \( f(a) = \frac{1}{a^4 + 6} \)，我们有：
\[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \]连续性的三个条件均满足，因此 \( f \) 对于 \( \mathbb{R} \) 中的所有 \( x \) 值都是连续的。
例 3：绝对值函数的连续性
证明函数 \( f \) 对于 \( \mathbb{R} \) 中的所有 \( x \) 值都是连续的：
\[ f(x) = |x - 5| \]解答：
我们将 \( f(x) \) 写为分段函数：
- 当 \( x > 5 \) 时，\( f(x) = x - 5 \)
- 当 \( x < 5 \) 时，\( f(x) = -(x - 5) \)
- 当 \( x = 5 \) 时，\( f(x) = 0 \)
当 \( x > 5 \) 和 \( x < 5 \) 时，\( f(x) \) 分别由多项式函数 \( x - 5 \) 和 \( -(x - 5) \) 给出，因此在这些 \( x \) 值范围内 \( f(x) \) 是连续的。
现在我们检查点 \( x = 5 \)。考虑当 \( x \) 从左侧趋近于 \( 5 \)（\( x < 5 \)）时的极限：
\[ \lim_{x\to 5^{-}} f(x) = \lim_{x\to 5^{-}} -(x - 5) = 0 \]考虑当 \( x \) 从右侧趋近于 \( 5 \)（\( x > 5 \)）时的极限：
\[ \lim_{x\to 5^{+}} f(x) = \lim_{x\to 5^{+}} (x - 5) = 0 \]由于左右两侧极限相等，因此极限 \( \lim_{x\to 5} f(x) \) 存在且等于 0。于是，\( \lim_{x\to 5} f(x) = 0 = f(5) \)，这说明函数 \( f \) 在 \( x = 5 \) 处是连续的。结合上述区间，\( f \) 对于 \( \mathbb{R} \) 中的所有 \( x \) 值都是连续的。